複素数と方程式の問題

$Q=x^2+x+1$ とおく。$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)Q$ であることを利用する。

1. $x^{99}$ を変形する

$x^3=1+(x-1)Q$ だから、二項定理より
$$x^{99}={\left(x^3\right)}^{33}=\{1+(x-1)Q{\}}^{33}=1+33(x-1)Q+{}_{33}{\mathrm{C}}_2(x-1{)}^2{Q}^2+\cdots +(x-1{)}^{33}{Q}^{33}$$
第 $3$ 項以降はすべて $Q^2$ で割り切れるので、ある整式 $A(x)$ を用いて
$$x^{99}=1+33(x-1)Q+Q^{2}A(x)$$
と表せる。両辺に $x$ を掛けて
$$x^{100}=x+33x(x-1)(x^2+x+1)+Q^2\cdot xA(x)$$

2. 残りの部分を $Q^2$ で割る

$$x(x-1)(x^2+x+1)=x(x^3-1)=x^4-x$$
である。$Q^2=(x^2+x+1{)}^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1$ だから
$$x^4-x=Q^2-(2x^3+3x^2+3x+1)$$
よって
$$x^{100}=x-33(2x^3+3x^2+3x+1)+Q^2\{33+xA(x)\}$$
$$=-66x^3-99x^2-98x-33+Q^2\{33+xA(x)\}$$
$Q^2$ は $4$ 次式で、$-66x^3-99x^2-98x-33$ は $3$ 次以下なので、これが求める余りである。

（確かめ） $x^2+x+1=0$ の解の 1 つを $\omega$ とすると、${\omega }^3=1$, ${\omega }^2+\omega +1=0$ である。余りを $R(x)$ とすると
$$R(\omega )=-66{\omega }^3-99{\omega }^2-98\omega -33=-66-99({\omega }^2+\omega +1)+\omega +66=\omega$$
となり、${\omega }^{100}=({\omega }^3{)}^{33}\omega =\omega$ と一致する。

求める余りは
$$-66x^3-99x^2-98x-33$$

$u=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ とおく。$x^{100}=x\cdot (x^3{)}^{33}=x(1+u{)}^{33}$。二項定理より
$$x^{100}=x\left(1+33u+{}_{33}{\mathrm{C}}_2{u}^2+\cdots \right).$$
$u^2$ 以上の項は $(x^2+x+1{)}^2$ で割り切れるので、$x^{100}$ を $(x^2+x+1{)}^2$ で割った余りは $x(1+33u)=33x^4-32x$ を $(x^2+x+1{)}^2$ で割った余りに等しい。

$(x^2+x+1{)}^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1$ なので
$$33x^4-32x-33(x^4+2x^3+3x^2+2x+1)=-66x^3-99x^2-98x-33.$$
これは 3 次式で、割る式(4 次)より次数が低いので余りである。

検算: $R(x)=-66x^3-99x^2-98x-33$ とする。$\omega$ を $x^2+x+1=0$ の解とすると ${\omega }^3=1$、${\omega }^2=-\omega -1$。$R(\omega )=-66-99{\omega }^2-98\omega -33=-99(1+{\omega }^2)-98\omega =99\omega -98\omega =\omega ={\omega }^{100}$。また $R^{\prime }(x)=-198x^2-198x-98$ より $R^{\prime }(\omega )=-198({\omega }^2+\omega )-98=198-98=100=100{\omega }^{99}$。余りの条件を満たす。