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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$x$ の整式 $A = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$ を整式 $B = x^{2} + x - 1$ で割ったときの商と余りを、この順に求めよ。

この問題で使うもの

整式の除法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

整式の除法を使います。数の割り算の筆算と同じように、 $A$ と $B$ を降べきの順に並べて、最高次の項どうしを割って商の項を決めていきます。

ヒント 2

まず $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ が商の最初の項です。 $2 x \cdot B$ を $A$ から引き、残りの式の次数が $B$ の次数 $2$ より小さくなるまで同じことをくり返します。

ヒント 3

$A - 2 x (x^{2} + x - 1) = - x^{2} - 3 x + 7$ となります。次は $- x^{2} \div x^{2}$ で商の 2 番目の項を求め、もう一度引き算をしましょう。

答えと解説

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(2 x - 1, - 2 x + 6)

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解説を読む

整式の除法は、数の割り算の筆算と同じように、次数の高い項から順に割り進めます。

1 回目： $A$ の最高次の項 $2 x^{3}$ を $B$ の最高次の項 $x^{2}$ で割ると $2 x$ です。これが商の最初の項になります。
$2 x (x^{2} + x - 1) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$
これを $A$ から引きます。
$(2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7) - (2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x) = - x^{2} - 3 x + 7$

2 回目：残った式の最高次の項 $- x^{2}$ を $x^{2}$ で割ると $- 1$ です。これが商の次の項になります。
$- 1 \cdot (x^{2} + x - 1) = - x^{2} - x + 1$
これを引きます。
$(- x^{2} - 3 x + 7) - (- x^{2} - x + 1) = - 2 x + 6$

残った $- 2 x + 6$ は 1 次式で、 $B$ （2 次式）より次数が低いので、ここで割り算は終わりです。

よって、商は $Q = 2 x - 1$ 、余りは $R = - 2 x + 6$ です。

検算： $A = B Q + R$ が成り立つか確かめます。
$(x^{2} + x - 1) (2 x - 1) = 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x - 2 x + 1 = 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1$
$2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 + (- 2 x + 6) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$
となり、 $A$ に一致します。

したがって、 $A = (x^{2} + x - 1) (2 x - 1) + (- 2 x + 6)$ であり、商は $2 x - 1$ 、余りは $- 2 x + 6$ です。

別解

$A = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$ を $B = x^{2} + x - 1$ で割る。

1. $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ 。 $2 x \cdot B = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$ 。 $A$ から引くと $- x^{2} - 3 x + 7$ 。
2. $- x^{2} \div x^{2} = - 1$ 。 $- 1 \cdot B = - x^{2} - x + 1$ 。引くと $(- x^{2} - 3 x + 7) - (- x^{2} - x + 1) = - 2 x + 6$ 。
3. $- 2 x + 6$ は次数が $B$ より低いので余りとなる。

よって商は $2 x - 1$ 、余りは $- 2 x + 6$ 。

検算: $(2 x - 1) (x^{2} + x - 1) + (- 2 x + 6) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + 1 - 2 x + 6 = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$ となり $A$ に一致する。

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