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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

整式 $A = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ を整式 $B = x^{2} - x + 2$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求めよ。答えは $(Q, R)$ の順の組で答えよ。

この問題で使うもの

整式の除法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

整式の除法を使います。 $A$ と $B$ を降べきの順に並べ、数の筆算と同じように最高次の項どうしを割って商の項を 1 つずつ決めていきましょう。

ヒント 2

まず $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ が商の最初の項です。 $2 x (x^{2} - x + 2)$ を $A$ から引き、残った式の次数が $B$ の次数 $2$ より小さくなるまで同じ操作を続けます。

ヒント 3

$A - 2 x (x^{2} - x + 2) = - x^{2} - 5$ となります。次に $- x^{2} \div x^{2} = - 1$ を商の項として、 $- x^{2} - 5$ から $- 1 \cdot (x^{2} - x + 2)$ を引きましょう。

答えと解説

答えを見る

(2 x - 1, - x - 3)

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解説を読む

$A$ も $B$ も $x$ について降べきの順に整理されているので、数の割り算の筆算と同じように、最高次の項に注目して割り進めます。

1 段目： $A$ の最高次の項 $2 x^{3}$ を $B$ の最高次の項 $x^{2}$ で割ると $2 x$ です。これが商の最初の項になります。
$2 x (x^{2} - x + 2) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$
これを $A$ から引きます。
$(2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5) - (2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) = - x^{2} - 5$

2 段目：残った式 $- x^{2} - 5$ の最高次の項 $- x^{2}$ を $x^{2}$ で割ると $- 1$ です。これが商の次の項になります。
$- 1 \cdot (x^{2} - x + 2) = - x^{2} + x - 2$
これを引きます。
$(- x^{2} - 5) - (- x^{2} + x - 2) = - x - 3$

残った $- x - 3$ は 1 次式で、 $B$ （2 次式）より次数が低いので、ここで割り算は終わりです。

よって、商は $Q = 2 x - 1$ 、余りは $R = - x - 3$ です。

確かめ： $A = B Q + R$ が成り立つか計算します。
$(x^{2} - x + 2) (2 x - 1) = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x^{2} + x + 4 x - 2 = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$
$2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 + (- x - 3) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$
となり、 $A$ に一致します。したがって
$2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (x^{2} - x + 2) (2 x - 1) + (- x - 3)$
答えは $(Q, R) = (2 x - 1, - x - 3)$ です。

別解

筆算で割る。 $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ を $x^{2} - x + 2$ で割る。
1. 最高次の項どうしを割って $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ 。 $2 x (x^{2} - x + 2) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$ 。引くと $(- 3 x^{2} + 2 x^{2}) + (4 x - 4 x) - 5 = - x^{2} - 5$ 。
2. 次に $- x^{2} \div x^{2} = - 1$ 。 $- 1 \cdot (x^{2} - x + 2) = - x^{2} + x - 2$ 。引くと $- x^{2} - 5 - (- x^{2} + x - 2) = - x - 3$ 。
3. 余り $- x - 3$ の次数は 1 で、 $B$ の次数 2 より小さいので終了。

よって $Q = 2 x - 1$ 、 $R = - x - 3$ 。

検算： $(x^{2} - x + 2) (2 x - 1) = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x^{2} + x + 4 x - 2 = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 。これに $- x - 3$ を足すと $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ となり $A$ と一致する。

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