複素数と方程式の問題

整式の除法は、整数の割り算の筆算と同じように、最高次の項どうしを割って商の項を決め、掛けて引くことを繰り返します。余りの次数が割る式 $B$ の次数 $2$ より小さくなったら終わりです。

手順1（商の1つ目の項）
$A$ の最高次の項 $2x^3$ を $B$ の最高次の項 $x^2$ で割ると $2x$ です。これが商の最初の項です。
$$2x(x^2-x+2)=2x^3-2x^2+4x$$
これを $A$ から引きます。
$$(2x^3-3x^2+4x-5)-(2x^3-2x^2+4x)=-x^2-5$$

手順2（商の2つ目の項）
残った式 $-x^2-5$ の最高次の項 $-x^2$ を $x^2$ で割ると $-1$ です。これが商の次の項です。
$$-1\cdot (x^2-x+2)=-x^2+x-2$$
これを引きます。
$$(-x^2-5)-(-x^2+x-2)=-x-3$$

手順3（終了の判定）
残った $-x-3$ は 1 次式で、$B$ の次数 $2$ より次数が小さいので、ここで割り算は終わりです。

よって、商 $Q=2x-1$、余り $R=-x-3$ です。

検算（$A=BQ+R$ が成り立つか確かめる）
$$(x^2-x+2)(2x-1)=2x^3-x^2-2x^2+x+4x-2=2x^3-3x^2+5x-2$$
$$2x^3-3x^2+5x-2+(-x-3)=2x^3-3x^2+4x-5=A$$
となり、正しいことが確かめられます。すなわち
$$2x^3-3x^2+4x-5=(x^2-x+2)(2x-1)+(-x-3)$$

答え：$(Q,R)=(2x-1,-x-3)$

$2x^3-3x^2+4x-5$ を $x^2-x+2$ で割る。

1. 最高次の項: $2x^3÷x^2=2x$。$2x(x^2-x+2)=2x^3-2x^2+4x$。引くと $(-3x^2+2x^2)+(4x-4x)-5=-x^2+0x-5$。
2. 次に $-x^2÷x^2=-1$。$-1\cdot (x^2-x+2)=-x^2+x-2$。引くと $(-x^2+x^2)+(0x-x)+(-5+2)=-x-3$。
3. 余り $-x-3$ は 1 次式で、$B$ の次数 2 より低いので割り算はここで終わる。

よって $Q=2x-1$、$R=-x-3$。

検算: $(2x-1)(x^2-x+2)=2x^3-2x^2+4x-x^2+x-2=2x^3-3x^2+5x-2$。これに $-x-3$ を加えると $2x^3-3x^2+4x-5$ となり $A$ に一致する。