複素数と方程式の問題

$\alpha$ の値

解の公式より $x=1\pm \sqrt{3}i$ である。虚部が正であるものは $\alpha =1+\sqrt{3}i$ である。

${\alpha }^3$ を求める

$\alpha$ は $x^2-2x+4=0$ の解なので、${\alpha }^2=2\alpha -4$ が成り立つ。これを使うと
$${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=2{\alpha }^2-4\alpha =2(2\alpha -4)-4\alpha =-8$$
となる。

（別の見方）$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ なので、$x^2-2x+4=0$ の解は $x^3=-8$ を満たす。

3 項ずつまとめる

$m=0,1,2,3$ に対して、${\alpha }^{3m}=({\alpha }^3{)}^m=(-8{)}^m$ だから
$${\alpha }^{3m+1}+{\alpha }^{3m+2}+{\alpha }^{3m+3}=(-8{)}^m(\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3)$$
である。各項を計算すると
$$\alpha =1+\sqrt{3}i,{\alpha }^2=2\alpha -4=-2+2\sqrt{3}i,{\alpha }^3=-8$$
なので
$$\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3=(1-2-8)+(\sqrt{3}+2\sqrt{3})i=-9+3\sqrt{3}i$$
となる。

和を計算する

$$S=\sum _{m=0}^3(-8{)}^m(\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3)=(1-8+64-512)(-9+3\sqrt{3}i)=-455(-9+3\sqrt{3}i)$$
よって
$$S=4095-1365\sqrt{3}i$$

検算（等比数列の和の公式）

$\alpha \ne 1$ なので
$$S=\frac{\alpha ({\alpha }^{12}-1)}{\alpha -1}$$
である。${\alpha }^{12}=(-8{)}^4=4096$、$\alpha -1=\sqrt{3}i$ より
$$S=\frac{4095(1+\sqrt{3}i)}{\sqrt{3}i}=\frac{4095(1+\sqrt{3}i)(-i)}{\sqrt{3}}=\frac{4095(\sqrt{3}-i)}{\sqrt{3}}=4095-1365\sqrt{3}i$$
となり、一致する。

答え: $S=4095-1365\sqrt{3}i$

$x^2-2x+4=0$ を解くと $x=1\pm \sqrt{3}i$。虚部が正なので $\alpha =1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$。

$\alpha \ne 1$ なので等比数列の和の公式より $S=\frac{\alpha ({\alpha }^{12}-1)}{\alpha -1}$。

ド・モアブルの定理より ${\alpha }^{12}=2^{12}(\cos 4\pi +i\sin 4\pi )=4096$。

よって ${\alpha }^{12}-1=4095$。

$\alpha -1=\sqrt{3}i$ なので $S=\frac{4095(1+\sqrt{3}i)}{\sqrt{3}i}$。

分母分子に $-\sqrt{3}i$ を掛けると、分母は $3$、分子は $4095(1+\sqrt{3}i)(-\sqrt{3}i)=4095(-\sqrt{3}i+3)$。

したがって $S=1365(3-\sqrt{3}i)=4095-1365\sqrt{3}i$。

検算: ${\alpha }^6=2^6(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=64$ より、6項ごとの和は $\alpha +\cdots +{\alpha }^6$ で、$S=(1+{\alpha }^6)(\alpha +\cdots +{\alpha }^6)=65T$ となる。$T=\frac{\alpha (64-1)}{\sqrt{3}i}=63\cdot \frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}i}=21(3-\sqrt{3}i)$。

$65\cdot 21=1365$ なので $S=1365(3-\sqrt{3}i)$ となり一致する。