複素数と方程式の問題

まず分子を展開すると
$$(a+i{)}^2=a^2+2ai+i^2=(a^2-1)+2ai$$
である。分母の共役複素数 $1-i$ を分母・分子に掛けると，$(1+i)(1-i)=1-i^2=2$ より
$$\frac{(a+i{)}^2}{1+i}=\frac{\{(a^2-1)+2ai\}(1-i)}{2}$$
分子を計算すると
$$\{(a^2-1)+2ai\}(1-i)=(a^2-1)-(a^2-1)i+2ai-2a{i}^2=(a^2+2a-1)+(-a^2+2a+1)i$$
よって
$$\frac{(a+i{)}^2}{1+i}=\frac{a^2+2a-1}{2}+\frac{-a^2+2a+1}{2}i$$
$a$ は実数なので，実部は $\frac{a^2+2a-1}{2}$，虚部は $\frac{-a^2+2a+1}{2}$ である。

純虚数となる条件は「実部が $0$ かつ 虚部が $0$ でない」ことである。

実部 $=0$ より $a^2+2a-1=0$，これを解いて
$$a=-1\pm \sqrt{2}$$

次に虚部が $0$ でないことを確かめる。$a^2+2a-1=0$ のとき $a^2=-2a+1$ なので
$$-a^2+2a+1=(2a-1)+2a+1=4a$$
$a=-1\pm \sqrt{2}$ はどちらも $0$ ではないから，$4a\ne 0$ であり，虚部は $0$ でない。

したがって求める $a$ の値は
$$a=-1+\sqrt{2},-1-\sqrt{2}$$

$\frac{(a+i{)}^2}{1+i}=\frac{(a^2-1+2ai)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{(a^2-1)+2a+\{2a-(a^2-1)\}i}{2}$。純虚数となる条件は、実部が $0$ かつ虚部が $0$ でないこと。実部 $=0$ より $a^2+2a-1=0$、よって $a=-1\pm \sqrt{2}$。このとき $a^2=1-2a$ なので虚部の分子は $2a-(a^2-1)=2a-(-2a)=4a\ne 0$ で条件を満たす。検算: $a=-1+\sqrt{2}$ のとき $a^2=3-2\sqrt{2}$、$(a+i{)}^2=2-2\sqrt{2}+2(\sqrt{2}-1)i$ で、実部と虚部が等しい形 $c(1+i)$ となり、$(1+i)$ で割ると $c$... 実際は $(a+i{)}^2=(a^2-1)+2ai$ で $a^2-1=-2a$ より $=-2a+2ai=-2a(1-i)$、これを $1+i$ で割ると $-2a\cdot \frac{1-i}{1+i}=-2a\cdot (-i)=2ai$ となり純虚数。