複素数と方程式の問題

まず $z$ を $a+bi$ の形にする。分母の共役複素数 $1+i$ を分母・分子に掛けると
$$z=\frac{(1+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i+3i+3i^2}{1-i^2}=\frac{1+4i-3}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i$$
となる。

次に $z^2$ を計算する。
$$z^2=(-1+2i{)}^2=1-4i+4i^2=1-4i-4=-3-4i$$

さらに $z^4=(z^2{)}^2$ を計算する。
$$z^4=(-3-4i{)}^2=9+24i+16i^2=9+24i-16=-7+24i$$

よって $z^4=-7+24i$ である。

$z=\frac{(1+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i+3i+3i^2}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i$。
$z^2=(-1+2i{)}^2=1-4i+4i^2=-3-4i$。
$z^4=(z^2{)}^2=(-3-4i{)}^2=9+24i+16i^2=-7+24i$。
検算: $|z{|}^2=5$ より $|z^4|=25$。$(-7{)}^2+24^2=49+576=625=25^2$ で一致。