解析的整数論の問題

方針. $\epsilon$ は、$n\equiv a$ と $n\equiv -a(\mathrm{mod}10)$ で同じ値をとる（偶）関数です。そこで正の $n$ の和を、$\mathbb{Z}$ 全体にわたる剰余類ごとの和に書き直し、部分分数展開を使います。

1. 剰余類ごとの和への書き直し. 和は絶対収束するので、項を自由に並べ替えられます。正の整数で $n\equiv 1$ または $n\equiv 9(\mathrm{mod}10)$ を満たすものは、$m\in \mathbb{Z}$ として $|10m+1|$ と書ける数全体とちょうど一致します。$m\ge 0$ のとき $10m+1\equiv 1$、$m\le -1$ のとき $-(10m+1)\equiv 9(\mathrm{mod}10)$ だからです。同様に、$n\equiv 3,7$ を満たす正の整数は $|10m+3|$（$m\in \mathbb{Z}$）全体と一致します。したがって
$$S=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(10m+1{)}^2}-\sum _{m\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(10m+3{)}^2}.$$

2. 部分分数展開. 整数でない複素数 $a$ に対して、よく知られた展開
$$\sum _{m\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(m+a{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi a}$$
が成り立ちます（$\pi \cot \pi a=\frac{1}{a}+{\sum }_{m\ne 0}\left(\frac{1}{a+m}-\frac{1}{m}\right)$ を $a$ で微分して得られます）。これを使うと
$$\sum _{m\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(10m+a{)}^2}=\frac{1}{100}\sum _{m\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(m+a/10{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{100{\sin }^2(\pi a/10)}.$$
よって
$$S=\frac{{\pi }^2}{100}\left(\frac{1}{{\sin }^2(\pi /10)}-\frac{1}{{\sin }^2(3\pi /10)}\right).$$

3. 三角関数の値. $\sin \frac{\pi }{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$、$\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ です。これより
$${\sin }^2\frac{\pi }{10}=\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{3-\sqrt{5}}{8},\frac{1}{{\sin }^2(\pi /10)}=\frac{8}{3-\sqrt{5}}=\frac{8(3+\sqrt{5})}{4}=2(3+\sqrt{5}),$$
$${\sin }^2\frac{3\pi }{10}=\frac{3+\sqrt{5}}{8},\frac{1}{{\sin }^2(3\pi /10)}=2(3-\sqrt{5}).$$
差は $2(3+\sqrt{5})-2(3-\sqrt{5})=4\sqrt{5}$ となります。したがって
$$S=\frac{{\pi }^2}{100}\cdot 4\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}{\pi }^2}{25}.$$

4. 検算（L 関数との関係）. ${\chi }_5$ を法 $5$ のルジャンドル記号とすると、$\epsilon (n)$ は $n$ が奇数のとき ${\chi }_5(n)$、偶数のとき $0$ です。${\chi }_5(2)=-1$ なので、オイラー積から
$$S=\left(1-\frac{{\chi }_5(2)}{4}\right)L(2,{\chi }_5)=\frac{5}{4}L(2,{\chi }_5)$$
が成り立ちます。一方、一般ベルヌーイ数は $B_{2,{\chi }_5}=5{\sum }_{a=1}^4{\chi }_5(a)B_2(a/5)=\frac{4}{5}$ であり、偶指標の関数等式から $L(2,{\chi }_5)=\frac{\sqrt{5}}{2}{\left(\frac{2\pi }{5}\right)}^2\frac{B_{2,{\chi }_5}}{2}=\frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}$ となります。よって $S=\frac{5}{4}\cdot \frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}=\frac{{\pi }^2}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}{\pi }^2}{25}$ で、上の結果と一致します。

$\epsilon (n)$ は、$n$ が奇数のとき $\left(\frac{n}{5}\right)$（ルジャンドル記号）に等しく、$n$ が偶数のとき $0$ である。確認すると、$1,9\mapsto 1$、$3,7\mapsto -1$ となり（$\left(\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{7}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1$）、$\epsilon$ と一致する。

${\chi }_5(n)=\left(\frac{n}{5}\right)$ は法 5 の実の原始的な偶指標で、${\chi }_5(2)=-1$ である。したがって
$$S=\sum _{n\text{odd}}\frac{{\chi }_5(n)}{n^2}=L(2,{\chi }_5)\left(1-\frac{{\chi }_5(2)}{2^2}\right)=\frac{5}{4}L(2,{\chi }_5).$$

偶指標なので、一般化ベルヌーイ数 $B_{2,\chi }$ を用いて次が成り立つ。
$$L(2,{\chi }_5)=\frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}.$$
この値は数値的にも確かめた。
- 右辺は約 $0.7062$ である。
- 級数の部分和は約 $0.706$ に近づく。

よって
$$S=\frac{5}{4}\cdot \frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}=\frac{{\pi }^2}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}{\pi }^2}{25}\approx \mathrm{0.8828.}$$

検算として、級数の部分和を計算した。
$$1-\frac{1}{9}-\frac{1}{49}+\frac{1}{81}+\frac{1}{121}-\frac{1}{169}-\frac{1}{289}+\frac{1}{361}+\cdots \approx 0.883$$
これは上の値と一致する。