1 次元表現とアーベル化

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $12$ の巡回群とする。$G$ の複素既約指標 $\chi$ のうち、$\chi (g^3)=1$ を満たすものの個数を求めよ。

$S_3$ を 3 次対称群、$C_4$ を位数 $4$ の巡回群とし、$G=S_3\times C_4$ とおく。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2$ 次正方行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の和を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

$g\ge 1$ を整数とし、${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_g$ の 2 重被覆 $p:E\to {\Sigma }_g$ で全空間 $E$ が連結であるものを考える。2 つの被覆 $p_1:E_1\to {\Sigma }_g$、$p_2:E_2\to {\Sigma }_g$ は、同相写像 $h:E_1\to E_2$ で $p_2\circ h=p_1$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。

このとき、${\Sigma }_g$ の連結な 2 重被覆は、同型を除いてちょうど $2^{2g}-1$ 個あることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 被覆空間の分類定理: $X$ が弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結な空間で $x_0\in X$ のとき、$X$ の連結な被覆の同型類（基点なし）全体と、${\pi }_1(X,x_0)$ の部分群の共役類全体の間には全単射があり、連結な被覆 $p:E\to X$ には部分群 $p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)$（$e_0\in p^{-1}(x_0)$）の共役類が対応する。さらに、このとき被覆の重複度（シート数）は指数 $[{\pi }_1(X,x_0):p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)]$ に等しい。

(ii) ${\pi }_1({\Sigma }_g,x_0)$ は表示 $⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g\mid [a_1,b_1][a_2,b_2]\cdots [a_g,b_g]⟩$ をもつ。ここで $[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ である。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $48$）とする。正の整数 $d$ に対し、$G$ の複素既約表現の同型類のうち次元がちょうど $d$ であるものの個数を $a_d$ とおく。組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=SL(2,{\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2\times 2$ 行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現（同型類）の次元を小さい順に重複を込めてすべて並べた組 $(d_1,d_2,\dots ,d_r)$（$d_1\le d_2\le \cdots \le d_r$）を求めよ。

$G$ を位数 $21$ の非可換群とし、$g\in G$ を位数 $7$ の元とする。$\chi$ が $G$ の複素既約指標全体を動くとき、$\chi (g)$ のとりうる値の集合を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

表現・指標はすべて複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限次元のものとする。$G$ を有限群とし、$G^{\prime }$ をその交換子群とする。また
$$N=\#\{(x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}$$
を、$G$ の可換な元の順序対の個数とする。このとき
$$4N\le |G|(|G|+3[G:G^{\prime }])$$
が成り立ち、さらに等号が成り立つための必要十分条件は「$G$ の次数が $1$ でない既約指標の次数がすべて $2$ であること」（そのような既約指標が存在しない場合も含む）であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限群 $G$ の既約指標の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。
- 既約指標の次数を $d_1,\dots ,d_k$ とすると ${\sum }_{i=1}^k{d}_i^2=|G|$ である。
- $G$ の次数 $1$ の指標の個数は $[G:G^{\prime }]$ に等しい。

表現・指標はすべて複素数体上の有限次元のものとする。有限群 $K$ 上の複素数値関数 $\alpha ,\beta$ に対し、内積を $⟨\alpha ,\beta {⟩}_K=\frac{1}{|K|}{\sum }_{k\in K}\alpha (k)\overline{\beta (k)}$ で定める。群 $G$ の線形指標とは、群準同型 $G\to {\mathbb{C}}^{\times }$（次数 $1$ の指標）のこととする。

$G$ を有限群、$\chi$ を $G$ の既約指標とし、
$$L=\{\lambda \mid \lambda \text{ は }G\text{ の線形指標で、すべての }g\in G\text{ について }\chi (g)\lambda (g)=\chi (g)\}$$
とおく。このとき、$L$ の元の個数 $|L|$ は $\chi (1{)}^2$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 指標の第 1 直交関係: $G$ の既約指標 $\psi ,{\psi }^{\prime }$ について、$\psi ={\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=1$、$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=0$
- クリフォードの定理: $K$ が $G$ の正規部分群で $\chi$ が $G$ の既約指標ならば、正の整数 $e,t$ と、互いに相異なる $K$ の既約指標 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_t$ で、すべて同じ次数をもち、${\chi }_K=e({\theta }_1+\cdots +{\theta }_t)$ をみたすものが存在する（${\chi }_K$ は $\chi$ の $K$ への制限）