表現論の問題

表現・指標はすべて複素数体上の有限次元のものとする。有限群 $K$ 上の複素数値関数 $\alpha ,\beta$ に対し、内積を $⟨\alpha ,\beta {⟩}_K=\frac{1}{|K|}{\sum }_{k\in K}\alpha (k)\overline{\beta (k)}$ で定める。群 $G$ の線形指標とは、群準同型 $G\to {\mathbb{C}}^{\times }$（次数 $1$ の指標）のこととする。

$G$ を有限群、$\chi$ を $G$ の既約指標とし、
$$L=\{\lambda \mid \lambda \text{ は }G\text{ の線形指標で、すべての }g\in G\text{ について }\chi (g)\lambda (g)=\chi (g)\}$$
とおく。このとき、$L$ の元の個数 $|L|$ は $\chi (1{)}^2$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 指標の第 1 直交関係: $G$ の既約指標 $\psi ,{\psi }^{\prime }$ について、$\psi ={\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=1$、$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=0$
- クリフォードの定理: $K$ が $G$ の正規部分群で $\chi$ が $G$ の既約指標ならば、正の整数 $e,t$ と、互いに相異なる $K$ の既約指標 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_t$ で、すべて同じ次数をもち、${\chi }_K=e({\theta }_1+\cdots +{\theta }_t)$ をみたすものが存在する（${\chi }_K$ は $\chi$ の $K$ への制限）

$G$ を有限群、$V$ を複素数体 $\mathbb{C}$ 上の $0$ でない有限次元ベクトル空間とし、$\rho :G\to GL(V)$ を $G$ の表現、$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g)$ をその指標とする。$n=\dim V$ とおく。$G^{\prime }$ は $G$ の交換子群（交換子 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ $(x,y\in G)$ 全体で生成される部分群）とする。

すべての $g\in G$ に対して $|\chi (g)|=n$ が成り立つと仮定する。このとき、すべての $h\in G^{\prime }$ に対して $\rho (h)={\mathrm{id}}_V$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 各 $g\in G$ に対し、$\rho (g)$ は対角化可能であり、その固有値はすべて $1$ のべき根（特に絶対値 $1$ の複素数）である。

$m$ を正の整数とし、$2m$ の分割 $\lambda =(m,m)$（ヤング図形が長さ $m$ の行 2 つからなる分割）を考える。$\lambda$ に対応する対称群 $S_{2m}$ の複素既約表現の次元を $f^{\lambda }$ と書く。

$f^{\lambda }$ が奇数であるための必要十分条件は、ある正の整数 $r$ を用いて $m=2^r-1$ と表せることであることを証明せよ。

ただし、次の 2 つは証明なしに用いてよい。
- （フック長公式）$n$ の分割 $\mu$ に対応する $S_n$ の既約表現の次元は $f^{\mu }=\frac{n!}{{\prod }_{x}h(x)}$ である。ここで積は $\mu$ のヤング図形のすべての箱 $x$ にわたり、$h(x)$ は $x$ のフック長（$x$ 自身、$x$ の右にある同じ行の箱、$x$ の下にある同じ列の箱の個数の合計）である。
- （リュカの定理、法 2）非負整数 $a,b$ を 2 進展開して $a={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{2}^i$, $b={\sum }_{i\ge 0}{b}_i{2}^i$（$a_i,b_i\in \{0,1\}$ で、有限個の $i$ を除いて $0$）とすると $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\equiv \prod _{i\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i}\right)(\mathrm{mod}2)$ が成り立つ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)=0$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=1$ とする。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

$S_{10}$ を $10$ 次対称群とし、$\mathrm{sgn}:S_{10}\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ をその符号表現とする。$S_{10}$ の有限次元複素既約表現 $V$ の同型類のうち、$V\otimes \mathrm{sgn}\cong V$ をみたすものすべてについて、それらの次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V$ の和を求めよ。