表現論の問題

既約表現の分類と符号との積. $S_n$ の複素既約表現の同型類は $n$ の分割 $\lambda$ と一対一に対応する（Specht 加群 $S^{\lambda }$）。さらに、$\lambda$ の共役分割（ヤング図形を転置したもの）を ${\lambda }^{\prime }$ とすると
$$S^{\lambda }\otimes \mathrm{sgn}\cong S^{{\lambda }^{\prime }}$$
が成り立つ。したがって $V=S^{\lambda }$ が $V\otimes \mathrm{sgn}\cong V$ をみたすことは、$S^{{\lambda }^{\prime }}\cong S^{\lambda }$、すなわち ${\lambda }^{\prime }=\lambda$（$\lambda$ が自己共役）であることと同値である。

$10$ の自己共役分割. 自己共役分割 $\lambda$ は、対角線上の各箱 $(i,i)$ のフック長 $h_{ii}=2({\lambda }_i-i)+1$ を並べることで、相異なる奇数への分割と一対一に対応する。$10$ を相異なる奇数の和に表す方法は
$$10=9+1=7+3$$
の $2$ 通り（$5+3+1+1$ などは同じ数を含むので不可、$5+5$ も不可）。
- $9+1$: ${\lambda }_1-1=4$, ${\lambda }_2-2=0$ より $\lambda =(5,2,1,1,1)$。
- $7+3$: ${\lambda }_1-1=3$, ${\lambda }_2-2=1$ より $\lambda =(4,3,2,1)$。

どちらも転置して自分自身に一致することが確かめられる。

フック長公式. $\dim S^{\lambda }=\frac{n!}{{\prod }_{(i,j)\in \lambda }h(i,j)}$ を用いる。$10!=3628800$ である。

(1) $\lambda =(4,3,2,1)$ のフック長は
- 1 行目: $7,5,3,1$
- 2 行目: $5,3,1$
- 3 行目: $3,1$
- 4 行目: $1$

で、積は $7\cdot 5\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 3=4725$。よって
$$\dim S^{(4,3,2,1)}=\frac{3628800}{4725}=768.$$

(2) $\lambda =(5,2,1,1,1)$ のフック長は
- 1 行目: $9,5,3,2,1$
- 2 行目: $5,1$
- 3〜5 行目: $3,2,1$

で、積は $9\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1=8100$。よって
$$\dim S^{(5,2,1,1,1)}=\frac{3628800}{8100}=448.$$

答え. 求める和は $768+448=1216$ である。

$S_n$ の既約表現は $n$ の分割 $\lambda$ で分類され、$V_{\lambda }\otimes \mathrm{sgn}\cong V_{{\lambda }^{\prime }}$（${\lambda }^{\prime }$ は共役分割）である。よって $V\otimes \mathrm{sgn}\cong V$ となるのは $\lambda ={\lambda }^{\prime }$（自己共役分割）のとき。

自己共役分割は対角線のフック長（相異なる奇数）の列で決まるので、$10$ を相異なる奇数の和で表す方法を数える。$9+1$, $7+3$ の 2 通り（奇数 4 個では最小でも $1+3+5+7=16>10$ で不可）。

(i) フック長 $9,1$: $\lambda =(5,2,1,1,1)$。フック長は 1 行目 $9,5,3,2,1$、2 行目 $5,1$、3 行目 $3$、4 行目 $2$、5 行目 $1$。積は $9\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1=8100$。次元は $10!/8100=3628800/8100=448$。

(ii) フック長 $7,3$: $\lambda =(4,3,2,1)$。フック長は $7,5,3,1;5,3,1;3,1;1$。積は $4725$。次元は $3628800/4725=768$。

検算: どちらも $\lambda ={\lambda }^{\prime }$ を満たし、サイズは 10。$448$ と $768$ はともに整数で、次元が偶数であることも自己共役表現が符号で不変であること（$A_{10}$ 上で 2 つに分裂し $\dim /2$ ずつ）と整合する。

和は $448+768=1216$。