表現論の問題

共役類の個数. $G$ の元を位数で分ける。$\pm I$ は中心の元でそれぞれ $1$ 元の共役類をなす。残りの $22$ 個の元は
- 位数 $4$ の元（$A^2=-I$、すなわちトレース $0$）: $6$ 個で、$1$ つの共役類をなす。
- 位数 $3$ の元（トレース $-1$、$I$ 以外の冪単元）: $8$ 個で、$4$ 個ずつ $2$ つの共役類に分かれる（例: $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$ は $G$ 内で共役でない）。
- 位数 $6$ の元（トレース $1$、位数 $3$ の元に $-I$ をかけたもの）: $8$ 個で、同様に $4$ 個ずつ $2$ つの共役類に分かれる。

よって共役類は $1+1+1+2+2=7$ 個であり、複素既約表現も $7$ 個ある。

1 次元表現の個数. $G$ の交換子群は四元数群 $Q_8=\{\pm I\}\cup \{\text{位数 }4\text{ の元}\}$（位数 $8$）であり、$G/[G,G]\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。1 次元表現は $G/[G,G]$ の指標と対応するので $3$ 個ある。

残りの次元. 残り $4$ 個の既約表現の次元を $d_1,d_2,d_3,d_4(\ge 2)$ とすると、$\sum (\dim {)}^2=|G|$ より
$$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=24-3=21.$$
また各 $d_i$ は $|G|=24$ の約数である。$d_i\in \{2,3,4\}$ で考えると、$4$ を含むと残り $3$ つの平方和が $5$ となり不可能、$3$ を $2$ つ以上含むと残りの平方和が $3$ 以下となり不可能。$3$ を含まないと和は $16\ne 21$。よって $3$ をちょうど $1$ つ含み、$9+4+4+4=21$ から $(d_1,d_2,d_3,d_4)=(3,2,2,2)$（順不同）。

答え. 既約表現の次元は $1,1,1,2,2,2,3$ であり、その和は
$$1+1+1+2+2+2+3=12.$$

$G={\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$ は位数 24 で、共役類は 7 個（$\pm I$ の 2 類、位数 4 の元 1 類（6 元）、位数 3 の元 2 類（各 4 元）、位数 6 の元 2 類（各 4 元））。よって既約表現は 7 個。

$G$ は $Q_8⋊C_3$ の形で、$G/Q_8\cong C_3$ から 1 次元表現が 3 個。$G/\{\pm I\}\cong A_4$ の既約表現は次元 $1,1,1,3$。center $-I$ が非自明に作用する忠実な表現は 3 個で、次元 $2,2,2$（$Q_8$ の 2 次元表現を $C_3$ の指標でねじったもの）。

次元は $1,1,1,2,2,2,3$。検算: $1+1+1+4+4+4+9=24=|G|$。

次元の和は $1+1+1+2+2+2+3=12$。