表現論の問題

1. 共役類の個数. ${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$ の共役類は有理標準形（特性多項式と最小多項式）で分類される。
- スカラー行列 $I,-I$：$2$ 類。
- 相異なる固有値 $1,-1$ をもつもの（$\mathrm{diag}(1,-1)$ と共役）：$1$ 類。
- 固有値が重複するが対角化できないもの $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$：$2$ 類。
- 特性多項式が ${\mathbb{F}}_3$ 上既約な $2$ 次式であるもの：既約なモニック $2$ 次式は $x^2+1,x^2+x+2,x^2+2x+2$ の $3$ 個なので $3$ 類。

よって共役類は $2+1+2+3=8$ 個あり、既約表現の同型類も $8$ 個である。

2. $1$ 次元表現の個数. $1$ 次元表現の個数は $|G/[G,G]|$ に等しい。$\det :G\to {\mathbb{F}}_3^{\times }$ は全射で、その核は ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$ である。${\mathbb{F}}_3^{\times }$ は可換なので $[G,G]\subset {\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$。

逆の包含を示す。$d=\mathrm{diag}(-1,1)$, $u=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ とおくと
$$du{d}^{-1}{u}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=u$$
となるので $u\in [G,G]$ である。同様に下三角の $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\in [G,G]$ である。体上の ${\mathrm{SL}}_2$ は基本行列で生成されるので ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)\subset [G,G]$ となる。

したがって $[G,G]={\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$, $|G/[G,G]|=2$ であり、$a_1=2$ である。

3. 残りの次元の決定. 残りの $6$ 個の既約表現の次元を $d_1,\dots ,d_6(\ge 2)$ とすると
$$d_1^2+\cdots +d_6^2=48-2=46.$$
各 $d_i$ は $|G|=48$ を割り、$d_i^2\le 46$ より $d_i\le 6$ である。よって $d_i\in \{2,3,4,6\}$ となる。
- $d_i=6$ があると、残り $5$ 個の平方和は $10$ になる。しかし各平方は $4$ 以上なので和は $20$ 以上となり、矛盾する。
- $2,3,4$ の個数をそれぞれ $x,y,z$ とすると、$x+y+z=6$ かつ $4x+9y+16z=46$。第 $2$ 式から第 $1$ 式の $4$ 倍を引いて $5y+12z=22$。
- $z=0$ のとき $5y=22$ で整数解なし。
- $z=1$ のとき $y=2$。
- $z\ge 2$ のとき $12z>22$ で解なし。

よって $z=1,y=2,x=3$ となる。

以上より $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(2,3,2,1)$ である。

GL_2(F_3) の共役類は 8 個ある。代表元は次のとおり。
- 単位元 I（類の大きさ 1）
- -I（大きさ 1）
- diag(1,-1)（大きさ 12）
- 位数 3 の元（大きさ 8）
- 位数 6 の元 -u（大きさ 8）
- 位数 4 の元（大きさ 6）
- 位数 8 の元 2 類（それぞれ大きさ 6）

合計は 1+1+12+8+8+6+6+6=48 となり、位数と一致する。したがって既約表現は 8 個ある。

次元を d_i とすると、平方和は 48 である。

GL_2(F_3) の可換化は det による商 {±1} である。SL_2(F_3) は指数 2 の部分群で、交換子部分群は Q8 である。G/Q8 は位数 6 で S_3 と同型になる。よって次元 1 の表現は 2 個、S_3 の次元 2 の表現が 1 個ある。

残りの 5 個の既約表現について、平方和は 48-1-1-4=42 である。

よく知られているとおり、GL_2(F_3) の指標表の次元は 1,1,2,2,2,3,3,4 である。平方和は 1+1+4+4+4+9+9+16=48 となり一致する。

GL_2(F_q) の次元は 1（q-1 個）、q（q-1 個）、q+1（(q-1)(q-2)/2 個）、q-1（q(q-1)/2 個）である。q=3 では次のようになる。
- 次元 1 が 2 個
- 次元 3 が 2 個
- 次元 4 が 1 個
- 次元 2 が 3 個

合計は 8 個で、平方和は 2+18+16+12=48 となり確認できる。

よって (a_1,a_2,a_3,a_4)=(2,3,2,1) である。