誘導表現とフロベニウスの相互律

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

$G$ を
$$G=⟨a,b\mid a^7=b^3=1,ba{b}^{-1}=a^2⟩$$
で定まる位数 $21$ の群とする。$G$ の $3$ 次元の複素既約表現 $V$ を $1$ つとる（このような表現は存在する）。$G$ の表現 $V\otimes V$（$G$ は $g\cdot (v\otimes w)=gv\otimes gw$ で作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を求めよ。

$G$ を位数 $21$ の非可換群とし、$g\in G$ を位数 $7$ の元とする。$\chi$ が $G$ の複素既約指標全体を動くとき、$\chi (g)$ のとりうる値の集合を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)$ とする。$H=N_G(⟨\sigma ⟩)$ を $\sigma$ が生成する巡回部分群の $G$ における正規化群とする（$H$ は位数 $10$ の二面体群で、$⟨\sigma ⟩$ を指数 $2$ の部分群として含む）。$\epsilon :H\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$⟨\sigma ⟩$ 上で $1$、$H\setminus ⟨\sigma ⟩$ 上で $-1$ をとる $1$ 次元表現とし、
$$U={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$$
とおく（$\dim U=6$）。$G$ の $5$ 次元の複素既約表現を $W$ とする（$A_5$ の $5$ 次元既約表現は同型を除いてただ $1$ つである）。$G$ の表現 $U\otimes U$ における $W$ の重複度、すなわち $\dim {\mathrm{Hom}}_G(W,U\otimes U)$ を求めよ。

$n\ge 3$ を奇数とし、位数 $2n$ の二面体群
$$G=D_n=⟨r,s\mid r^n=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える。部分群 $H=\{1,s\}$ の $1$ 次元複素表現 $\epsilon$ を $\epsilon (s)=-1$ で定め、誘導表現を $V={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$（$n$ 次元の $G$ の複素表現）とおく。テンソル積表現 $V\otimes V$（$G$ は対角的に作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を $n$ の式で表せ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の 5 次交代群とし、$H\subset G$ を $5$ を固定する元全体のなす部分群（$H\cong A_4$）とする。$H$ の正規部分群 $K=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ による商 $H/K$ は位数 $3$ の巡回群であり、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とおく。$H$ の 1 次元表現 $\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$K$ 上で $1$、$\psi ((123))=\omega$ となるものとする。

誘導表現 $U={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ に対し、$G$ の表現としての自己準同型環の次元
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(U\otimes U)$$
を求めよ。ここで $U\otimes U$ には $G$ が対角的に作用する。

$G=S_7$ を $7$ 次対称群とし、$\sigma =(1234567)\in G$ が生成する位数 $7$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi (\sigma )=e^{2\pi i/7}$ で定め、誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$（$\dim W=720$）を考える。$G$ の各複素既約表現 $\rho$ に対し、$W$ を既約表現の直和に分解したときの $\rho$ の重複度を $m_{\rho }$ とする。$\rho$ が $G$ の複素既約表現の同型類全体を動くときの和
$$\sum _{\rho }{m}_{\rho }^2$$
を求めよ。