表現論の問題

群の構造. シローの定理より、シロー $7$ 部分群の個数 $n_7$ は $3$ を割り切り $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので $n_7=1$。よって $P=⟨g⟩$ は正規部分群である。位数 $3$ の元 $h$ をとると $G=P⋊⟨h⟩$ であり、$G$ が非可換なので $h$ による共役 $g\mapsto hg{h}^{-1}=g^k$ は自明でない。$k^3\equiv 1(\mathrm{mod}7)$, $k\not\equiv 1$ より $k\in \{2,4\}$ であり、$h$ を $h^2$ に取り替えて $k=2$ としてよい。すると $g$ の共役類は $\{g,g^2,g^4\}$ である。

既約表現の次元. $G/P\cong \mathbb{Z}/3$ で、交換子群は $P$ に含まれ、$G$ が非可換なので $[G,G]=P$。よって $1$ 次の指標はちょうど $|G/[G,G]|=3$ 個で、いずれも $P$ 上で自明だから $\chi (g)=1$。残りの既約表現の次元 $d_i$ は $\sum d_i^2=21-3=18$ を満たし、$d_i$ は $|G|=21$ の約数で $d_i>1$ なので $d_i=3$、個数は $2$ 個である（共役類の個数 $1+2+2=5$ とも一致する。位数 $7$ の元の類が $2$ 個、位数 $3$ の元 $14$ 個が大きさ $7$ の類 $2$ 個）。

$3$ 次の指標の値. $\zeta =e^{2\pi i/7}$ とし、$P$ の $1$ 次指標 $\psi (g)=\zeta$ を考える。誘導指標 ${\mathrm{Ind}}_P^G\psi$ は次数 $3$ で、$P$ 上では
$${\mathrm{Ind}}_P^G\psi (g)=\psi (g)+\psi (g^2)+\psi (g^4)=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4.$$
$\psi$ の共役 $\psi ,{\psi }^{(2)},{\psi }^{(4)}$ は互いに異なるので、フロベニウスの相互律（マッキーの判定法）より $⟨\mathrm{Ind}\psi ,\mathrm{Ind}\psi ⟩=1$ となり既約である。同様に $\psi (g)={\zeta }^3$ から誘導すると値は ${\zeta }^3+{\zeta }^6+{\zeta }^{12}={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ となり、これがもう一方の $3$ 次既約指標である。

$\eta =\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$, $\bar{\eta }={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ とおくと、$\eta +\bar{\eta }=\zeta +\cdots +{\zeta }^6=-1$。また
$$\eta \bar{\eta }=\sum _{a,b\in \{1,2,4\}}{\zeta }^{a-b}=3+(\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^6)=3-1=2$$
（$a\ne b$ のとき差 $a-b\mathrm{mod}7$ は $1,\dots ,6$ をちょうど 1 回ずつとる）。よって $\eta ,\bar{\eta }$ は $t^2+t+2=0$ の 2 根で
$$\eta ,\bar{\eta }=\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}.$$

以上より、$\chi (g)$ のとりうる値の集合は
$$\left\{1,\frac{-1+\sqrt{7}i}{2},\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}\right\}.$$
（どちらの $3$ 次指標が $\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$ をとるかは $g$ の選び方によるが、集合は $g$ によらない。）

位数 $21=3\cdot 7$ の非可換群は $G=\mathbb{Z}/7⋊\mathbb{Z}/3$（フロベニウス群）で、位数 7 の部分群 $P=⟨g⟩$ は正規（シローの定理で $n_7=1$）。

共役類は 5 個: $\{e\}$, 位数 7 の元の 2 類（それぞれ 3 元）, 位数 3 の元の 2 類（それぞれ 7 元）。したがって既既約指標は 5 個で、$21=1+1+1+9+9$ より 1 次元 3 個、3 次元 2 個。

• 1 次元指標: $G/P\cong \mathbb{Z}/3$ を経由するので $g\in P$ では $\chi (g)=1$。
• 3 次元指標: $P$ の非自明指標 $\psi$ から誘導した表現で、$\chi (g)={\sum }_{h\in G/P}\psi (hg{h}^{-1})$。$\mathbb{Z}/3$ は $P$ に $x\mapsto 2x$ で作用する（$2$ は mod 7 で位数 3）ので、$\omega =e^{2\pi i/7}$ として $\chi (g)=\omega +{\omega }^2+{\omega }^4$ または ${\omega }^3+{\omega }^5+{\omega }^6$。

$\alpha =\omega +{\omega }^2+{\omega }^4$ とおくと $\alpha +\bar{\alpha }=-1$, $\alpha \bar{\alpha }=2$（ガウス和 $|\alpha {|}^2=7$ より $\alpha \bar{\alpha }=(7-1)/...$ ではなく直接計算で $\alpha \bar{\alpha }=3+(\omega +\cdots +{\omega }^6)=3-1=2$）。よって $\alpha =\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}$。

検算: 直交関係 ${\sum }_{\chi }|\chi (g){|}^2=|C_G(g)|=7$。$1+1+1+2+2=7$ で一致。

$g$ を別の位数 7 の元に取っても、$\chi (g)$ の値の集合は同じ $\{1,\frac{-1+i\sqrt{7}}{2},\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}\}$。