指標表の作成

1 次元指標・置換表現・行と列の直交関係を組み合わせて、 $S_{4}$ , $A_{4}$ , 位数 $21$ の非可換群などの指標表を完成させ、指定した元での指標の値を求められる。 $S L_{2} (F_{3})$ のような群でも、共役類の個数・1 次元表現の個数 $[G : [G, G]]$ ・ $\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣$ から既約表現の次元の組（ $1, 1, 1, 2, 2, 2, 3$ ）を決められる

前提

指標の直交関係と重複度（大学院数学表現論）
既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）

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算数中学高校大学大学院

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二面体群の共役類（大学数学代数学）
既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）

説明

有限群 $G$ の指標表とは、行に既約指標 $χ_{1}, \dots, χ_{r}$ 、列に共役類の代表元 $g_{1}, \dots, g_{r}$ を並べ、値 $χ_{i} (g_{j})$ を書き込んだ正方形の表です。この技能では、1 次元指標（アーベル化から得られる）、置換表現の指標、1 次元指標とのテンソル積、そして行と列の直交関係を組み合わせて、表を少しずつ埋めていきます。 $S_{4}$ や $A_{4}$ 、位数 $21$ の非可換群のような小さな群なら、表を全部書き出さなくても、欠けている 1 行や 1 マスを直交関係から確定させられます。表が作れれば、任意の表現の既約分解や、特定の元での指標の値がすぐに読み取れます。

なぜそうしてよいのか

表を埋める材料は 3 種類あります。(1) 1 次元指標： $G \to C^{\times}$ の準同型で、 $[G : [G, G]]$ 個あります。(2) 置換表現： $G$ が集合 $X$ に作用するとき、 $X$ を基底とする表現の指標 $π (g)$ は「 $g$ が固定する点の個数」です。この表現は全成分が等しいベクトル $\sum_{x \in X} x$ を固定するので、作用が推移的なら $π - 1$ も表現の指標で、 $⟨ π - 1, π - 1 ⟩ = 1$ を確かめれば既約だとわかります。(3) テンソル積： $χ$ が既約で $λ$ が 1 次元なら、 $∣ λ (g) ∣ = 1$ なので $⟨ χ λ, χ λ ⟩ = ⟨ χ, χ ⟩ = 1$ となり、 $χ λ$ も既約です（ただし $χ$ 自身と一致することもあります）。

材料で埋まらなかった部分は直交関係で決めます。共役類 $C_{1}, \dots, C_{r}$ の大きさを $∣ C_{j} ∣$ とし、行列 $X = (χ_{i} (g_{j}))$ と対角行列 $D = diag (∣ C_{1} ∣, \dots, ∣ C_{r} ∣)$ をとると、行の直交関係 $⟨ χ_{i}, χ_{k} ⟩ = δ_{ik}$ は $X D X^{T} = ∣ G ∣ I$ と書けます。既約指標の個数と共役類の個数は等しいので $X$ は正方行列であり、この式から $X^{T} X = ∣ G ∣ D^{- 1}$ も従います（正方行列では $A B = I$ なら $B A = I$ ）。成分で書けば
$i = 1 \sum r χ_{i} (g_{j}) χ_{i} (g_{k}) = δ_{j k} \frac{∣ G ∣}{∣ C _{j} ∣}$
で、これが列の直交関係です。右辺の $∣ G ∣/∣ C_{j} ∣$ は $g_{j}$ と可換な元全体（中心化群） $C_{G} (g_{j})$ の位数に等しくなります（共役類の大きさ × 中心化群の位数 $= ∣ G ∣$ ）。

特に単位元の列 $χ_{i} (e) = d_{i}$ と他の列 $g \neq = e$ の直交から $\sum_{i} d_{i} χ_{i} (g) = 0$ が得られ、表の最後の 1 行が 1 次方程式で決まります。次元の組そのものは、 $\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣$ 、 $d_{i} ∣ ∣ G ∣$ 、1 次元表現の個数 $[G : [G, G]]$ から決めます。例えば $S L_{2} (F_{3})$ （位数 $24$ 、共役類 $7$ 個、 $[G : [G, G]] = 3$ ）では、残り $4$ 個の次元の 2 乗和が $21$ で、各次元は $2$ 以上かつ $24$ の約数（ $2, 3, 4$ のどれか）なので、 $4 + 4 + 4 + 9$ の組 $2, 2, 2, 3$ しかありません。

手順

共役類を列挙し、各類の代表元・大きさ $∣ C_{j} ∣$ ・中心化群の位数 $∣ G ∣/∣ C_{j} ∣$ を表の上に書く。共役類の個数 $r$ が既約指標の個数になる
$\sum_{i} d_{i}^{2} = ∣ G ∣$ 、 $d_{i} ∣ ∣ G ∣$ 、1 次元指標の個数 $[G : [G, G]]$ から、既約表現の次元の組を決める
1 次元指標（自明指標、符号など、アーベル化 $G / [G, G]$ の指標）を書き込む
置換表現の指標 $π (g) = (g$ の固定点の個数 $)$ から $π - 1$ を作り、 $⟨ π - 1, π - 1 ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{j} ∣ C_{j} ∣ ∣ π (g_{j}) - 1 ∣^{2} = 1$ なら既約指標として書き込む。さらに 1 次元指標 $λ$ を掛けた $χ λ$ を作り、既存の行と違えば加える
残りの行・マスを列の直交関係 $\sum_{i} χ_{i} (g_{j}) χ_{i} (g_{k}) = δ_{j k} ∣ G ∣/∣ C_{j} ∣$ で決める。とくに単位元の列との直交 $\sum_{i} d_{i} χ_{i} (g) = 0 (g \neq = e)$ を使う
完成した表の各行について $⟨ χ_{i}, χ_{i} ⟩ = 1$ を確かめ、検算する

例題

対称群 $S_{4}$ の次元 $2$ の既約指標を $χ$ とする。 $3$ 次の巡回置換 $(123)$ における値 $χ ((123))$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $S_{4}$ の共役類は巡回置換の型で決まり、代表元と大きさは $e (1)$ , $(12) (6)$ , $(12) (34) (3)$ , $(123) (8)$ , $(1234) (6)$ の $5$ 個（合計 $24$ ）。よって既約指標は $5$ 個。

【手順 3】 $[S_{4}, S_{4}] = A_{4}$ なので 1 次元指標は $[S_{4} : A_{4}] = 2$ 個：自明指標 $χ_{1} = (1, 1, 1, 1, 1)$ と符号 $χ_{2} = (1, - 1, 1, 1, - 1)$ （列の順は上の共役類の順）。

【手順 4】 ${1, 2, 3, 4}$ への置換表現の指標（固定点の個数）は $π = (4, 2, 0, 1, 0)$ 。 $χ_{3} = π - 1 = (3, 1, - 1, 0, - 1)$ について
$⟨ χ_{3}, χ_{3} ⟩ = \frac{1}{24} (1 \cdot 9 + 6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 6 \cdot 1) = \frac{24}{24} = 1$
なので $χ_{3}$ は次元 $3$ の既約指標。符号を掛けると $χ_{4} = χ_{3} χ_{2} = (3, - 1, - 1, 0, 1)$ で、 $χ_{3}$ とは $(12)$ での値が違うので新しい既約指標。

【手順 2】残りの 1 個の次元 $d$ は $1^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 3^{2} + d^{2} = 24$ より $d^{2} = 4$ 、 $d = 2$ 。これが $χ$ である。

【手順 5】単位元の列 $(1, 1, 3, 3, 2)$ と $(123)$ の列は直交するので（指標の値はすべて実数）、 $χ ((123)) = x$ とおくと
$1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot x = 0$
より $x = - 1$ 。

【手順 6】同様に他の列から $χ = (2, 0, 2, - 1, 0)$ が得られ、 $⟨ χ, χ ⟩ = \frac{1}{24} (4 + 0 + 3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 0) = 1$ と確かめられる。また $(123)$ の列について $\sum_{i} ∣ χ_{i} ((123)) ∣^{2} = 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 3 = 24/8$ となり、列の直交関係とも合う。

よって $χ ((123)) = - 1$ 。

答え: $- 1$

よくある誤り

内積を共役類ごとの値の和で計算し、類の大きさを掛け忘れる誤り。 $S_{4}$ の $χ_{3} = (3, 1, - 1, 0, - 1)$ で $\frac{1}{24} (9 + 1 + 1 + 0 + 1)$ としてしまうと $1$ にならない。正しくは $⟨ χ_{3}, χ_{3} ⟩ = \frac{1}{24} (1 \cdot 9 + 6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 6 \cdot 1) = 1$ のように各項に $∣ C_{j} ∣$ を掛ける。
列の直交関係の右辺を $∣ G ∣$ や共役類の大きさ $∣ C_{j} ∣$ にしてしまう誤り。正しくは中心化群の位数 $∣ G ∣/∣ C_{j} ∣$ で、 $S_{4}$ の $(12)$ の列なら $\sum_{i} ∣ χ_{i} ((12)) ∣^{2} = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4 = 24/6$ （ $6$ ではない）。
置換表現の指標 $π$ そのものを既約指標として表に入れてしまう誤り。 $S_{4}$ の $π = (4, 2, 0, 1, 0)$ では $⟨ π, π ⟩ = \frac{1}{24} (16 + 6 \cdot 4 + 0 + 8 \cdot 1 + 0) = 2$ なので既約ではない。正しくは自明指標を引いた $π - 1$ を使い、その内積が $1$ であることを確かめる。
1 次元指標を掛ければ必ず新しい既約指標が得られると思い込む誤り。 $S_{4}$ の 2 次元指標 $χ = (2, 0, 2, - 1, 0)$ では $χ \cdot sgn = (2, 0, 2, - 1, 0) = χ$ で、新しい行は増えない。正しくは掛けたあとで既存の行と一致しないかを確かめ、足りない行は次元の式と列の直交関係で求める。また $A_{4}$ の $ω = e^{2 π i /3}$ のように値が実数でない列では、直交関係で複素共役 $χ_{i} (g_{j})$ を取り忘れないこと。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$G = S_{4}$ を $4$ 次対称群とし、複素数体上の表現を考える。 $G$ の共役類は巡回型で分類され、代表元 $e, (12), (12) (34), (123), (1234)$ をもつ $5$ つの類があり、その大きさはこの順に $1, 6, 3, 8, 6$ である。 $G$ の既約指標のうち、次の $4$ つはすでにわかっているとする。
- 自明な指標 $χ_{1}$
- 符号指標 $χ_{sgn}$ （ $χ_{sgn} (σ) = sgn σ$ ）
- ${1, 2, 3, 4}$ への置換表現の指標から $χ_{1}$ を引いた $3$ 次元既約指標 $χ_{3}$
- $χ_{3}$ と $χ_{sgn}$ の積 $χ_{3}^{'} = χ_{3} χ_{sgn}$ （ $3$ 次元既約指標）
$G$ には残りの既約指標 $χ_{2}$ がちょうど $1$ つある。 $χ_{2}$ の $(12), (12) (34), (123), (1234)$ での値を、この順に組 $(χ_{2} ((12)), χ_{2} ((12) (34)), χ_{2} ((123)), χ_{2} ((1234)))$ として求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有限体上の 2 次一般線形群の既約表現（大学院数学表現論）