この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

表現論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学表現論

$G = S_{4}$ を $4$ 次対称群とし、複素数体上の表現を考える。 $G$ の共役類は巡回型で分類され、代表元 $e, (12), (12) (34), (123), (1234)$ をもつ $5$ つの類があり、その大きさはこの順に $1, 6, 3, 8, 6$ である。 $G$ の既約指標のうち、次の $4$ つはすでにわかっているとする。

自明な指標 $χ_{1}$
符号指標 $χ_{sgn}$ （ $χ_{sgn} (σ) = sgn σ$ ）
${1, 2, 3, 4}$ への置換表現の指標から $χ_{1}$ を引いた $3$ 次元既約指標 $χ_{3}$
$χ_{3}$ と $χ_{sgn}$ の積 $χ_{3}^{'} = χ_{3} χ_{sgn}$ （ $3$ 次元既約指標）

$G$ には残りの既約指標 $χ_{2}$ がちょうど $1$ つある。 $χ_{2}$ の $(12), (12) (34), (123), (1234)$ での値を、この順に組 $(χ_{2} ((12)), χ_{2} ((12) (34)), χ_{2} ((123)), χ_{2} ((1234)))$ として求めよ。

この問題で使うもの

指標表の作成（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「指標表の作成」を使う。わかっている 4 つの既約指標の値を表にし、既約表現の個数と次元の関係・指標の直交関係から残りの行を決める。

ヒント 2

$\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣ = 24$ から $χ_{2} (e)$ を求め、列の直交関係 $\sum_{i} χ_{i} (e) χ_{i} (g) = 0 (g \neq = e)$ を各類について使う。

ヒント 3

置換表現の指標は固定点の個数なので $χ_{3}$ の値は $3, 1, - 1, 0, - 1$ 、 $χ_{3}^{'}$ は $3, - 1, - 1, 0, 1$ 。また $χ_{2} (e) = 2$ である。 $χ_{2} (g) = x$ とおいて $1 + χ_{sgn} (g) + 3 χ_{3} (g) + 3 χ_{3}^{'} (g) + 2 x = 0$ を解く。

答えと解説

答えを見る

(0, 2, - 1, 0)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1: わかっている指標の値を表にする。

置換表現の指標は固定点の個数なので、類 $e, (12), (12) (34), (123), (1234)$ での値は $4, 2, 0, 1, 0$ である。これから $1$ を引いて
$χ_{3} : 3, 1, - 1, 0, - 1.$
符号は $(12)$ と $(1234)$ が奇置換、ほかは偶置換なので
$χ_{sgn} : 1, - 1, 1, 1, - 1,$
$χ_{3}^{'} = χ_{3} χ_{sgn} : 3, - 1, - 1, 0, 1.$
$χ_{1}$ はすべて $1$ である。

手順 2: $χ_{2}$ の次元を決める。

既約表現の個数は共役類の個数 $5$ に等しく、 $\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣ = 24$ である。わかっている $4$ つの次元は $1, 1, 3, 3$ なので
$d^{2} = 24 - 1 - 1 - 9 - 9 = 4, d = χ_{2} (e) = 2.$

手順 3: 列の直交関係で残りの値を求める。

列の直交関係より、 $g \neq = e$ のとき $\sum_{i} χ_{i} (e) χ_{i} (g) = 0$ である（ $S_{4}$ の指標の値はここではすべて実数）。 $χ_{2} (g) = x$ とおくと
$1 \cdot 1 + 1 \cdot χ_{sgn} (g) + 3 χ_{3} (g) + 3 χ_{3}^{'} (g) + 2 x = 0.$

$g = (12)$ : $1 - 1 + 3 - 3 + 2 x = 0$ より $x = 0$
$g = (12) (34)$ : $1 + 1 - 3 - 3 + 2 x = 0$ より $x = 2$
$g = (123)$ : $1 + 1 + 0 + 0 + 2 x = 0$ より $x = - 1$
$g = (1234)$ : $1 - 1 - 3 + 3 + 2 x = 0$ より $x = 0$

確認: 行の直交関係で $⟨ χ_{2}, χ_{2} ⟩ = \frac{1}{24} (1 \cdot 4 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 6 \cdot 0) = \frac{24}{24} = 1$ となり、 $χ_{2}$ は確かに既約である。

よって求める組は $(0, 2, - 1, 0)$ である。

別解

類の順を $e, (12), (12) (34), (123), (1234)$ 、大きさを $1, 6, 3, 8, 6$ とする。 $∣ G ∣ = 24$ 。

既約指標の次数の平方和は $24$ なので、 $1^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 3^{2} + χ_{2} (e)^{2} = 24$ より $χ_{2} (e)^{2} = 4$ 、よって $χ_{2} (e) = 2$ 。

置換表現の指標は $(4, 2, 0, 1, 0)$ なので $χ_{3} = (3, 1, - 1, 0, - 1)$ 。 $χ_{sgn} = (1, - 1, 1, 1, - 1)$ より $χ_{3}^{'} = (3, - 1, - 1, 0, 1)$ 。 $χ_{1} = (1, 1, 1, 1, 1)$ 。

正則表現の指標は $(24, 0, 0, 0, 0)$ であり、すべての既約指標を次数倍して足したものに等しい。各類 $g \neq = e$ で $\sum_{χ} χ (e) χ (g) = 0$ となる。

$(12)$ : $1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) + 2 x = 0$ より $2 x = 0$ 、 $x = 0$ 。
$(12) (34)$ : $1 + 1 + 3 (- 1) + 3 (- 1) + 2 y = 0$ より $- 4 + 2 y = 0$ 、 $y = 2$ 。
$(123)$ : $1 + 1 + 0 + 0 + 2 z = 0$ より $z = - 1$ 。
$(1234)$ : $1 + (- 1) + 3 (- 1) + 3 (1) + 2 w = 0$ より $w = 0$ 。

検算: $⟨ χ_{2}, χ_{2} ⟩ = \frac{1}{24} (1 \cdot 4 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 6 \cdot 0) = \frac{24}{24} = 1$ 。 $⟨ χ_{2}, χ_{1} ⟩ = \frac{1}{24} (2 + 0 + 6 - 8 + 0) = 0$ 。 $⟨ χ_{2}, χ_{sgn} ⟩ = \frac{1}{24} (2 + 0 + 6 - 8 + 0) = 0$ 。 $⟨ χ_{2}, χ_{3} ⟩ = \frac{1}{24} (6 + 0 - 6 + 0 + 0) = 0$ 。よって正しい。

答え: $(0, 2, - 1, 0)$ 。

表現論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題