表現論の問題

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

$G=S_7$ を $7$ 次対称群とし、$\sigma =(1234567)\in G$ が生成する位数 $7$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi (\sigma )=e^{2\pi i/7}$ で定め、誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$（$\dim W=720$）を考える。$G$ の各複素既約表現 $\rho$ に対し、$W$ を既約表現の直和に分解したときの $\rho$ の重複度を $m_{\rho }$ とする。$\rho$ が $G$ の複素既約表現の同型類全体を動くときの和
$$\sum _{\rho }{m}_{\rho }^2$$
を求めよ。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $2$ 次元複素既約表現とする。$V$ の指標 $\chi$ は、単位元 $e$、互換（$3$ 個）、長さ $3$ の巡回置換（$2$ 個）の各共役類で、それぞれ
$$\chi (e)=2,\chi (\text{互換})=0,\chi (\text{3-cycle})=-1$$
をとる。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$（$A_3$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$（${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+{\epsilon }_4=0$）で表す。ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i\ne j)$、正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i<j)$ とし、ワイル群 $W\cong S_4$ は添字の置換として作用する。

最高ウェイト $\lambda ={\epsilon }_1-{\epsilon }_4$ をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ に現れる支配的ウェイトは $\lambda$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $\lambda$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $\dim V(\lambda {)}_0$ を求めよ。