表現論の問題

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$（$A_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2$、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$（$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$）とする。正ルートは ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ の $3$ 個である。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$ とし、対角行列全体をカルタン部分代数 $\mathfrak{h}$、上三角行列全体をボレル部分代数にとる。単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$（${\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}$、${\epsilon }_i$ は対角成分の第 $i$ 成分を取り出す線形形式）、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ とする。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V(\lambda )$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_4(\mathbb{C})$（$C_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm 2{\epsilon }_1,\pm 2{\epsilon }_2\}$$
となるようにとり、正ルートを ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_1+{\epsilon }_2,2{\epsilon }_1,2{\epsilon }_2$ とする（基本ウェイトは ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$）。

最高ウェイト $\lambda =3{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$（$=2{\omega }_1+{\omega }_2$）をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ の次元と、$V(\lambda )$ のウェイト $0$ の重複度（ウェイト空間 $V(\lambda {)}_0$ の次元）を、この順に組 $(\dim V(\lambda ),\dim V(\lambda {)}_0)$ で求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。