ウェイトの重複度

ワイル群の作用によるウェイトの対称性と、フロイデンタールの重複度公式（または支配的ウェイトの軌道の大きさと次元の比較）を使って、 $V (λ)$ のウェイト $μ$ （例: $μ = 0$ ）の重複度 $dim V (λ)_{μ}$ を求められる

前提

ワイルの次元公式（大学院数学表現論）
ワイル群の位数と軌道（大学院数学リー群・リー環）

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算数中学高校大学大学院

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ワイルの次元公式（大学院数学表現論）
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ワイル群の位数と軌道（大学院数学リー群・リー環）

説明

複素半単純リー環 $g$ の最高ウェイト $λ$ の既約表現 $V (λ)$ は、カルタン部分環 $h$ の同時固有空間（ウェイト空間） $V (λ)_{μ} = {v ∣ H v = μ (H) v (H \in h)}$ の直和に分かれます。この技能では、各ウェイト空間の次元 $m_{μ} = dim V (λ)_{μ}$ （重複度）を求めます。重複度はワイル群 $W$ の作用で変わらないので、支配的ウェイトの分だけ求めればよく、未知数が少なければ「次元 $=$ 軌道の大きさ × 重複度の和」から、一般にはフロイデンタールの重複度公式で上から順に決められます。ゼロウェイトの重複度（ $=$ カルタン部分環に固定されるベクトルの空間の次元）などがよく問われます。

なぜそうしてよいのか

重複度は $W$ 不変. 各ルート $α$ に対し、 $e_{α}, f_{α}, h_{α}$ は $sl_{2}$ を張ります。ウェイト $μ$ を通る $α$ 方向の列 $\dots, μ + α, μ, μ - α, \dots$ のウェイト空間を集めた部分は $sl_{2}$ の有限次元表現で、 $h_{α}$ の固有値は $⟨ μ, α^{\lor} ⟩ - 2 k$ です。 $sl_{2}$ の有限次元表現では固有値 $c$ と $- c$ の固有空間の次元が等しいので、 $μ$ と鏡映した $s_{α} μ = μ - ⟨ μ, α^{\lor} ⟩ α$ の重複度は等しくなります。鏡映が $W$ を生成するので $m_{w μ} = m_{μ} (w \in W)$ 。どの $W$ -軌道もちょうど 1 つの支配的ウェイトを含むので、
$dim V (λ) = μ : 支配的 \sum ∣ W μ ∣ m_{μ}$
が成り立ちます。さらに、 $V (λ)$ に現れる支配的ウェイトはちょうど「 $λ - μ$ が単純ルートの非負整数係数の和になる支配的な $μ$ 」で、 $m_{λ} = 1$ です。左辺はワイルの次元公式で計算でき、軌道の大きさは $∣ W ∣/∣ W_{μ} ∣$ で求まるので、未知の重複度が 1 つだけならこの式から決まります。

フロイデンタールの重複度公式. 一般には、 $W$ 不変な内積 $(,)$ と $ρ =$ （基本ウェイトの和）を用いて
$((λ + ρ, λ + ρ) - (μ + ρ, μ + ρ)) m_{μ} = 2 α > 0 \sum k \geq 1 \sum (μ + k α, α) m_{μ + k α}$
が成り立ちます。これは、すべての元と可換な「カシミール元」が $V (λ)$ 上でスカラー $(λ, λ + 2 ρ)$ として作用することを、ウェイト空間 $V (λ)_{μ}$ 上のトレースとして計算し、各 $α$ 方向の $sl_{2}$ の寄与を足し合わせて得られる式です。 $μ \neq = λ$ なら左辺の係数は正なので、 $μ$ より上のウェイトの重複度がわかっていれば $m_{μ}$ が決まり、 $λ$ から下へ順に計算できます。内積を定数倍しても両辺が同じ倍率になるので、正規化は自由です。

手順

ワイルの次元公式で $dim V (λ)$ を計算する
$V (λ)$ の支配的ウェイト、つまり $λ - μ = \sum_{i} k_{i} α_{i} (k_{i} \in Z_{\geq 0})$ となる支配的な $μ$ をすべて列挙する
各支配的ウェイト $μ$ の $W$ -軌道の大きさ $∣ W μ ∣ = ∣ W ∣/∣ W_{μ} ∣$ を求める
$m_{λ} = 1$ とし、 $dim V (λ) = \sum_{μ} ∣ W μ ∣ m_{μ}$ に代入する。未知の重複度が 1 つならここで決まる
未知が複数あるとき（または検算として）、フロイデンタールの公式で $λ$ に近いウェイトから順に $m_{μ}$ を求める

例題

$sl_{3} (C)$ の基本ウェイトを $ω_{1}, ω_{2}$ とし、最高ウェイト $λ = ω_{1} + ω_{2}$ の既約表現 $V (λ)$ を考える。ゼロウェイトの重複度 $dim V (λ)_{0}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $λ + ρ = 2 ω_{1} + 2 ω_{2}$ 。正ルートは $α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}$ で、 $⟨ λ + ρ, α^{\lor} ⟩$ はそれぞれ $2, 2, 4$ 、 $⟨ ρ, α^{\lor} ⟩$ は $1, 1, 2$ 。よって
$dim V (λ) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{1 \cdot 1 \cdot 2} = 8.$

【手順 2】単純ルートを基本ウェイトで書くと $α_{1} = 2 ω_{1} - ω_{2}$ 、 $α_{2} = - ω_{1} + 2 ω_{2}$ 。 $λ = (1, 1)$ （ $ω$ 座標）から単純ルートを引くと、 $λ - α_{1} = (- 1, 2)$ 、 $λ - α_{2} = (2, - 1)$ は支配的でなく、 $λ - α_{1} - α_{2} = (0, 0) = 0$ は支配的。これより下（ $0 - α_{i}$ など）に支配的なものはないので、支配的ウェイトは $λ$ と $0$ の 2 つ。

【手順 3】 $W = S_{3}$ （位数 $6$ ）。 $λ = ω_{1} + ω_{2}$ はどの壁にも乗らない（ $⟨ λ, α_{i}^{\lor} ⟩ = 1 > 0$ ）ので $W_{λ} = {e}$ 、 $∣ W λ ∣ = 6$ 。 $0$ は $W$ 全体で固定されるので $∣ W 0∣ = 1$ 。

【手順 4】 $m_{λ} = 1$ より
$8 = 6 \cdot 1 + 1 \cdot m_{0} ⟹ m_{0} = 2.$

【手順 5（検算）】 $(α, α) = 2$ と正規化すると $ρ = λ = α_{1} + α_{2}$ 、 $(λ, λ) = 2$ 、 $(λ, ρ) = 2$ 。左辺の係数は $(λ + ρ, λ + ρ) - (ρ, ρ) = (λ, λ) + 2 (λ, ρ) = 6$ 。右辺は各正ルート $α$ について $k = 1$ のみ（ $2 α$ はウェイトでない）で、 $α$ は $λ$ の軌道に入るので $m_{α} = 1$ 。よって右辺 $= 2 (2 + 2 + 2) = 12$ 、 $m_{0} = 12/6 = 2$ と一致する。

答え: $2$

よくある誤り

すべてのウェイトの重複度を $1$ と思い込み、次元を相異なるウェイトの個数としてしまう誤り。 $sl_{3}$ の $V (ω_{1} + ω_{2})$ のウェイトは $6$ 個のルートと $0$ の $7$ 個だが、次元は $8$ 。正しくは $8 = 6 \cdot 1 + 1 \cdot m_{0}$ から $m_{0} = 2$ で、ゼロウェイトは重複している。
軌道の大きさを掛け忘れ、支配的ウェイトの重複度をそのまま足してしまう誤り。 $8 = m_{λ} + m_{0} = 1 + m_{0}$ として $m_{0} = 7$ とするのは誤り。正しくは $dim V (λ) = \sum_{μ} ∣ W μ ∣ m_{μ}$ で、 $∣ W λ ∣ = 6$ を掛ける。
$λ - μ$ が単純ルートの非負整数結合になるかを確かめずに、支配的ウェイトなら何でも入れてしまう誤り。 $sl_{3}$ の $V (ω_{1})$ （ $3$ 次元）に $0$ は現れない： $ω_{1} = \frac{2 α _{1} + α _{2}}{3}$ でルートの整数結合ではないから。正しくはウェイトは $ω_{1}$ の軌道の $3$ 個だけで、 $3 = 3 \cdot 1$ 。
フロイデンタールの公式で $ρ$ を落とし、 $((λ, λ) - (μ, μ)) m_{μ}$ としてしまう誤り。上の例でこうすると左辺の係数が $2 - 0 = 2$ となり $m_{0} = 12/2 = 6$ と誤る。正しくは $(λ + ρ, λ + ρ) - (μ + ρ, μ + ρ) = 6$ で、右辺の因子 $2$ と $k \geq 1$ のすべての項も落とさない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$g = sl_{4} (C)$ （ $A_{3}$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}$ （ $ε_{1} + ε_{2} + ε_{3} + ε_{4} = 0$ ）で表す。ルートは $ε_{i} - ε_{j} (i \neq = j)$ 、正ルートは $ε_{i} - ε_{j} (i < j)$ とし、ワイル群 $W ≅ S_{4}$ は添字の置換として作用する。
最高ウェイト $λ = ε_{1} - ε_{4}$ をもつ有限次元既約表現を $V (λ)$ とする。 $V (λ)$ に現れる支配的ウェイトは $λ$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $λ$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $dim V (λ)_{0}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クォーク模型の多重項と量子数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）