ワイル群の位数と軌道

ワイル群を（符号つき）置換群として表し、位数（ $A_{n - 1}$ : $n!$ 、 $B_{n}, C_{n}$ : $2^{n} n!$ 、 $D_{n}$ : $2^{n - 1} n!$ ）を求め、軌道・固定部分群の関係 $∣ W v ∣ = ∣ W ∣/∣ W_{v} ∣$ や符号つき並べ替えの数え上げで $W$ -軌道の元の個数を求められる

前提

ルート系と鏡映（大学院数学リー群・リー環）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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ルート系と鏡映（大学院数学リー群・リー環）
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和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）

説明

ルート系 $Φ$ のワイル群 $W$ とは、すべてのルート $α$ による鏡映 $s_{α}$ で生成される（それらを何回でも合成してできる）直交変換全体の群です。古典型のワイル群は、座標の並べ替えと符号の反転（符号つき置換）としてはっきり書けるので、位数 $∣ W ∣$ が数え上げで求まります。さらに、ベクトル $v$ を $W$ の元で移した先全体（軌道） $W v = {w v ∣ w \in W}$ の個数を、 $∣ W v ∣ = ∣ W ∣/∣ W_{v} ∣$ や「符号つき並べ替えの個数」として求められます。ルートの個数の検算や、表現の重みの個数を数える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

鏡映を座標で書くと、古典型のワイル群の正体がわかります。 $α = e_{i} - e_{j}$ なら $(α, α) = 2$ 、 $(x, α) = x_{i} - x_{j}$ なので $s_{α} (x) = x - (x_{i} - x_{j}) (e_{i} - e_{j})$ で、これは第 $i$ 座標と第 $j$ 座標の入れ替えです。 $α = e_{i}$ （または $2 e_{i}$ ）なら $s_{α} (x) = x - 2 x_{i} e_{i}$ で、第 $i$ 座標の符号の反転です。 $α = e_{i} + e_{j}$ なら $s_{α}$ は $x_{i} \mapsto - x_{j}, x_{j} \mapsto - x_{i}$ （入れ替えて両方の符号を反転）です。どの鏡映も「座標の並べ替えと符号の付け替え」（符号つき置換）なので、その合成である $W$ の元もすべて符号つき置換です。逆に、入れ替えを合成すれば任意の並べ替えが作れます。

これから位数が決まります。 $A_{n - 1}$ （ $R^{n}$ 内のルート $e_{i} - e_{j}$ ）では生成元は入れ替えだけなので $W$ は $n$ 文字の置換全体で $∣ W ∣ = n!$ 。 $B_{n}, C_{n}$ では並べ替えに加えて各座標の符号を独立に反転できるので、並べ方 $n!$ 通りと符号 $2^{n}$ 通りで $∣ W ∣ = 2^{n} n!$ 。 $D_{n}$ では $s_{e_{i} + e_{j}} s_{e_{i} - e_{j}}$ が「第 $i, j$ 座標の符号を両方反転」になるので偶数個の符号反転はすべて作れますが、どの生成元も符号を 0 個か 2 個しか変えないので、反転する符号の個数は常に偶数です。よって符号の付け方は $2^{n}$ 通りの半分で $∣ W ∣ = 2^{n - 1} n!$ です。

軌道の個数については、 $v$ を動かさない元全体 $W_{v} = {w \in W ∣ w v = v}$ （固定部分群）を考えます。 $w v = w^{'} v$ は $w^{- 1} w^{'} \in W_{v}$ 、つまり $w^{'} \in w W_{v} = {w u ∣ u \in W_{v}}$ と同値です。 $u \mapsto w u$ は 1 対 1 なので $w W_{v}$ はちょうど $∣ W_{v} ∣$ 個の元をもちます。したがって $W$ の元は「行き先が同じもの」ごとに $∣ W_{v} ∣$ 個ずつの組に分かれ、組の数が $∣ W v ∣$ なので $∣ W ∣ = ∣ W v ∣ \cdot ∣ W_{v} ∣$ 、すなわち $∣ W v ∣ = ∣ W ∣/∣ W_{v} ∣$ です。

手順

ワイル群を符号つき置換として書き、位数を求める（ $A_{n - 1}$ : $n!$ 、 $B_{n}, C_{n}$ : $2^{n} n!$ 、 $D_{n}$ : $2^{n - 1} n!$ ）
$v$ の座標を見て、同じ値の座標の個数と $0$ の座標の個数を数える
直接数える方法: 座標の並べ替えを同じものを含む順列 $\frac{n !}{p ! q ! \dots}$ で数え、 $0$ でない座標の符号の付け方を掛ける（ $D_{n}$ で $0$ の座標がないときだけ符号の付け方を半分にする）
固定部分群を使う方法: $v$ を動かさない符号つき置換（等しい座標どうしの並べ替え、 $0$ の座標の符号反転など）を数えて $∣ W_{v} ∣$ を求め、 $∣ W v ∣ = ∣ W ∣/∣ W_{v} ∣$ を計算する
2 つの方法の結果が一致することを確かめる

例題

$B_{3}$ 型のルート系（ $R^{3}$ 内、ルートは $\pm e_{i} \pm e_{j} (i < j)$ と $\pm e_{i}$ ）のワイル群 $W$ について、ベクトル $v = (1, 1, 0)$ の $W$ -軌道 $W v$ の元の個数を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $B_{3}$ のワイル群は座標の並べ替えと各座標の符号反転からなる符号つき置換全体で、 $∣ W ∣ = 2^{3} \cdot 3! = 48$ 。

【手順 2】 $v = (1, 1, 0)$ の座標は、 $1$ が 2 個、 $0$ が 1 個。

【手順 3】直接数える: 並べ替えは ${1, 1, 0}$ の同じものを含む順列で $\frac{3 !}{2 ! 1 !} = 3$ 通り。 $0$ でない 2 つの座標の符号の付け方は $2^{2} = 4$ 通り（ $0$ の符号を変えても同じベクトル）。よって $3 \times 4 = 12$ 個。

【手順 4】固定部分群を使う: $v$ を動かさない符号つき置換は、第 1・第 2 座標をそのままか入れ替えるか（2 通り。符号は変えられない）と、第 3 座標の符号をそのままか反転するか（2 通り）で、 $∣ W_{v} ∣ = 2 \times 2 = 4$ 。よって $∣ W v ∣ = 48/4 = 12$ 。

【手順 5】両者は一致する。実際 $W v$ は $\pm e_{i} \pm e_{j} (i < j)$ の 12 個（ $B_{3}$ の長いルート全体）である。

答え: $12$

よくある誤り

等しい座標を区別して数えてしまう誤り。 $B_{3}$ で $v = (1, 1, 0)$ の軌道を $3! \times 2^{2} = 24$ としてしまう。正しくは並べ替えが $\frac{3 !}{2 !} = 3$ 通りなので $3 \times 4 = 12$
$0$ の座標にも符号を付けて数える誤り。 $v = (1, 1, 0)$ で $3 \times 2^{3} = 24$ としてしまう。正しくは $- 0 = 0$ なので符号の付け方は $0$ でない座標の個数 $2$ だけで $2^{2} = 4$ 通り
$D_{n}$ でいつも $B_{n}$ の軌道の半分にしてしまう誤り。 $D_{3}$ で $(1, 1, 0)$ の軌道を $12/2 = 6$ とする。正しくは $0$ の座標の符号反転で偶奇を調整できるので、 $0$ の座標があれば $D_{n}$ の軌道は $B_{n}$ と同じ $12$ 個。半分になるのは $0$ の座標がないとき（例: $D_{3}$ で $(1, 2, 3)$ の軌道は $\frac{2 ^{3} \cdot 3 !}{2} = 24$ ）
$A_{n - 1}$ と $A_{n}$ を取り違える誤り。 $A_{2}$ のワイル群の位数を $2! = 2$ とする。正しくは $A_{n - 1}$ は $R^{n}$ の $n$ 文字の置換なので、 $A_{2}$ では $3! = 6$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{4}$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ とする。 $A_{3}$ 型のルート系
$Φ = {e_{i} - e_{j} ∣ 1 \leq i, j \leq 4, i \neq = j}$
のワイル群 $W$ を、鏡映 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ （ $α \in Φ$ ）全体で生成される $G L (R^{4})$ の部分群とする。ベクトル
$v = (2, 2, 1, 0) = 2 e_{1} + 2 e_{2} + e_{3}$
の $W$ -軌道 $W v = {w v ∣ w \in W}$ の元の個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ウェイトの重複度（大学院数学表現論）