リー群・リー環の問題

1. ${\Phi }_{\lambda }$ はルート系である。 $\alpha ,\beta \in {\Phi }_{\lambda }$ に対し $s_{\alpha }\beta =\beta -⟨\beta ,{\alpha }^{\vee }⟩\alpha \in \Phi$ で、$⟨\beta ,{\alpha }^{\vee }⟩=\frac{2(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\in \mathbb{Z}$ なので
$$(\lambda ,s_{\alpha }\beta )=(\lambda ,\beta )-⟨\beta ,{\alpha }^{\vee }⟩(\lambda ,\alpha )\in \mathbb{Z}.$$
よって ${\Phi }_{\lambda }$ は自身の鏡映で閉じ、（その張る部分空間の中で）ルート系となる。$W_{\lambda }$ はそのワイル群である。

2. ${\Phi }_{\lambda }$ を決定する。 $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_6)$ と書く。

• 短いルート $\pm e_i$：$(\lambda ,e_i)={\lambda }_i\in \mathbb{Z}$ となるのは $i=6$ のみ。よって $\pm e_6$ の $2$ 本。
• 長いルート $\pm e_i\pm e_j$：${\lambda }_i+{\lambda }_j$ または ${\lambda }_i-{\lambda }_j$ が整数かを調べる。
• $i,j\in \{1,2,3\}$：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$、$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ なので $\pm e_i\pm e_j$ はすべて入る。$3$ 組 $\times 4=12$ 本。
• $\{i,j\}=\{4,5\}$：$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\in \mathbb{Z}$、$\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\notin \mathbb{Z}$。よって $\pm (e_4+e_5)$ の $2$ 本のみ。
• $i\in \{1,2,3\}$、$j\in \{4,5\}$：$\frac{1}{2}\pm \frac{1}{3},\frac{1}{2}\pm \frac{2}{3}$ はいずれも整数でない。
• $j=6$ を含む組：${\lambda }_i\pm 0={\lambda }_i\in \{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\}$ で整数でない。

したがって
$${\Phi }_{\lambda }=\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 3\}\cup \{\pm (e_4+e_5)\}\cup \{\pm e_6\}.$$

3. 既約成分に分解する。 3 つの部分はそれぞれ $\mathrm{span}(e_1,e_2,e_3)$, $\mathbb{R}(e_4+e_5)$, $\mathbb{R}{e}_6$ に含まれ、互いに直交する。

• 第 1 成分は $D_3$ 型（$=A_3$ 型）。そのワイル群は座標 $1,2,3$ の置換と偶数個の符号変換からなり、位数 $3!\cdot 2^2=24$。
• 第 2 成分は $A_1$ 型で、ワイル群の位数は $2$。
• 第 3 成分は $B_1$ 型（$A_1$ 型）で、ワイル群の位数は $2$。

直交する成分の鏡映どうしは可換で、各成分のワイル群は他の成分の空間に自明に作用するから、$W_{\lambda }$ はこれらの直積になる。よって
$$|W_{\lambda }|=24\cdot 2\cdot 2=96.$$

$(\lambda ,\alpha )\in \mathbb{Z}$ となる $\alpha \in \Phi$ を種類ごとに調べる。

1. 短ルート $\pm e_i$ について、$(\lambda ,e_i)={\lambda }_i$ が整数になるのは ${\lambda }_6=0$ のときだけである。よって $\pm e_6\in {\Phi }_{\lambda }$。

2. 長ルート $\pm e_i\pm e_j$ について、${\lambda }_i\pm {\lambda }_j$ が整数になる組を調べる。
- $i,j\in \{1,2,3\}$ のとき、${\lambda }_i={\lambda }_j=\frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$、$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ はともに整数である。したがって $\pm e_i\pm e_j$（$i,j\in \{1,2,3\}$）はすべて ${\Phi }_{\lambda }$ に入る。これは $D_3$ 型のルート系である。
- $\{i,j\}=\{4,5\}$ のとき、${\lambda }_4+{\lambda }_5=1$ は整数、${\lambda }_4-{\lambda }_5=-\frac{1}{3}$ は整数でない。したがって $\pm (e_4+e_5)$ だけが入る。これは $A_1$ 型である。
- $e_i\pm e_6$（$i\le 5$）は、${\lambda }_i$ が整数でないので入らない。
- $\{4,5\}$ と $\{1,2,3\}$ の組は、$\frac{1}{3}\pm \frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}\pm \frac{1}{2}$ がどれも整数でないので入らない。

3. よって ${\Phi }_{\lambda }=D_3(\{1,2,3\})\bigsqcup \{\pm (e_4+e_5)\}\bigsqcup \{\pm e_6\}$ である。これらは互いに直交する部分空間にあるので、
$W_{\lambda }\cong W(D_3)\times W(A_1)\times W(A_1)$。

4. 各位数は、$|W(D_3)|=2^2\cdot 3!=24$、$|W(A_1)|=2$ である（$W(D_3)\cong S_4$ でも $24$ となり整合する）。

$|W_{\lambda }|=24\cdot 2\cdot 2=96$。