ルート系と鏡映

$A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}$ 型のルート系を $\pm e_{i} \pm e_{j}$ などで書き下してルートの個数・単純ルートを求め、鏡映 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ でベクトルを移せる

前提

内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

説明

実内積空間 $V$ の中の有限個のベクトルの集合 $R$ で、各 $α \in R$ に関する鏡映 $s_{α}$ で $R$ 全体が $R$ に移り、比 $\frac{2 ( β , α )}{( α , α )}$ がいつも整数になるものをルート系といいます（ここでは $V$ を張り、 $α$ の実数倍で $R$ に入るのは $\pm α$ だけ、という条件も課します）。この技能では、古典型 $A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}$ のルート系を標準基底 $e_{1}, e_{2}, \dots$ を使って具体的に書き下し、ルートの個数や単純ルートを読み取り、鏡映でベクトルを計算できるようになります。半単純リー環やワイル群を具体的に扱うときの出発点になる計算です。

なぜそうしてよいのか

ベクトル $α \neq = 0$ に関する鏡映とは、 $α$ に直交する超平面 $H_{α} = {y ∣ (y, α) = 0}$ を鏡にした折り返しです。 $x$ を $α$ 方向の成分と $H_{α}$ 方向の成分に分けると、 $α$ 方向の成分は正射影 $\frac{( x , α )}{( α , α )} α$ です。折り返しでは $H_{α}$ 方向の成分はそのまま、 $α$ 方向の成分だけが符号を変えるので、 $x$ からこの正射影を 2 回引けばよく、 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ となります。実際 $s_{α} (α) = - α$ 、 $(y, α) = 0$ なら $s_{α} (y) = y$ で、 $s_{α}$ は内積を保ち $s_{α}^{2} = id$ です。

標準内積 $(e_{i}, e_{j}) = δ_{ij}$ のもとで計算すると、 $s_{e_{i} - e_{j}}$ は第 $i, j$ 座標を入れかえ、 $s_{e_{i}}$ と $s_{2 e_{i}}$ は第 $i$ 座標の符号を変え、 $s_{e_{i} + e_{j}}$ は $(x_{i}, x_{j}) \mapsto (- x_{j}, - x_{i})$ とします。これらの操作は集合 ${\pm e_{i} \pm e_{j}}$ などを保つので、次の集合がルート系になります（ $i \neq = j$ ）：
- $A_{n}$ ： $R^{n + 1}$ の座標和 $0$ の部分空間で $R = {e_{i} - e_{j}}$ （ $1 \leq i, j \leq n + 1$ ）、個数 $n (n + 1)$
- $B_{n}$ ： $R^{n}$ で $R = {\pm e_{i} \pm e_{j}} \cup {\pm e_{i}}$ 、個数 $2 n (n - 1) + 2 n = 2 n^{2}$
- $C_{n}$ ： $R^{n}$ で $R = {\pm e_{i} \pm e_{j}} \cup {\pm 2 e_{i}}$ 、個数 $2 n^{2}$
- $D_{n}$ ： $R^{n}$ で $R = {\pm e_{i} \pm e_{j}}$ 、個数 $2 n (n - 1)$
（ $\pm e_{i} \pm e_{j}$ は $i < j$ の 1 組ごとに符号の付け方が 4 通りなので $4 (2 n) = 2 n (n - 1)$ 個。）

単純ルートとは、一次独立なルートの組 $Δ$ で、どのルートも $Δ$ の元の「係数がすべて $0$ 以上の整数」または「すべて $0$ 以下の整数」の 1 次結合で書けるものです。正のルートを $e_{i} - e_{j}, e_{i} + e_{j} (i < j)$ 、 $e_{i}$ または $2 e_{i}$ と決めると、 $e_{i} - e_{j} = \sum_{k = i}^{j - 1} (e_{k} - e_{k + 1})$ などから、単純ルートは $A_{n}$ ： $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n} - e_{n + 1}$ 、 $B_{n}$ ： $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n - 1} - e_{n}, e_{n}$ 、 $C_{n}$ ： $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n - 1} - e_{n}, 2 e_{n}$ 、 $D_{n}$ ： $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n - 1} - e_{n}, e_{n - 1} + e_{n}$ となります（どれも $n$ 個で、 $n$ はルート系が張る空間の次元＝階数）。例えば $D_{n}$ で $e_{n - 1} + e_{n}$ が必要なのは、 $e_{n - 1} + e_{n}$ が $e_{k} - e_{k + 1}$ たちの和では書けないからです。

手順

型と $n$ から、ルートを $\pm e_{i} \pm e_{j}$ 、 $\pm e_{i}$ 、 $\pm 2 e_{i}$ 、 $e_{i} - e_{j}$ のどれで書くか決め、置かれる空間（ $A_{n}$ は $R^{n + 1}$ の座標和 $0$ の部分）を確認する
個数は種類ごとに数えて足す： $\pm e_{i} \pm e_{j}$ が $2 n (n - 1)$ 個、 $\pm e_{i}$ または $\pm 2 e_{i}$ が $2 n$ 個、 $A_{n}$ の $e_{i} - e_{j}$ が $n (n + 1)$ 個
単純ルートは $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n - 1} - e_{n}$ に、型に応じた最後の 1 個（ $A_{n}$ ： $e_{n} - e_{n + 1}$ 、 $B_{n}$ ： $e_{n}$ 、 $C_{n}$ ： $2 e_{n}$ 、 $D_{n}$ ： $e_{n - 1} + e_{n}$ ）を加える
鏡映は $(x, α)$ と $(α, α)$ を計算し、 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ に代入する
検算として、座標の入れかえ・符号変化の規則（ $s_{e_{i} - e_{j}}$ ：入れかえ、 $s_{e_{i}}$ ：符号変化、 $s_{e_{i} + e_{j}}$ ： $(x_{i}, x_{j}) \mapsto (- x_{j}, - x_{i})$ ）と一致するか、ルートがルートに移っているかを確かめる

例題

$R^{3}$ に標準内積を入れ、 $B_{3}$ 型のルート系 $R = {\pm e_{i} \pm e_{j} (1 \leq i < j \leq 3)} \cup {\pm e_{i} (1 \leq i \leq 3)}$ を考える。 $α = e_{3}$ 、 $β = e_{2} + e_{3}$ とするとき、鏡映 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ による $β$ の像 $s_{α} (β)$ を成分 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $α = e_{3} = (0, 0, 1)$ は短いルート、 $β = e_{2} + e_{3} = (0, 1, 1)$ は長いルートで、どちらも $R$ に入っている。

【手順 4】内積を計算すると $(β, α) = 1$ 、 $(α, α) = 1$ 。よって
$s_{α} (β) = β - \frac{2 \cdot 1}{1} α = (0, 1, 1) - 2 (0, 0, 1) = (0, 1, - 1) .$

【手順 5】検算： $s_{e_{3}}$ は第 3 座標の符号を変える操作なので $(0, 1, 1) \mapsto (0, 1, - 1)$ で一致する。また $(0, 1, - 1) = e_{2} - e_{3} \in R$ で、ルートがルートに移っている。

答え: $(0, 1, - 1)$

よくある誤り

鏡映の式で $(α, α)$ で割るのを忘れ、 $s_{α} (x) = x - 2 (x, α) α$ としてしまう誤り。 $α = e_{i} + e_{j}$ のように $(α, α) = 2$ のとき結果がずれる。正しくは $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ で、例えば $s_{e_{1} + e_{2}} (e_{1}) = e_{1} - \frac{2}{2} (e_{1} + e_{2}) = - e_{2}$
$\pm e_{i} \pm e_{j}$ の個数を $(2 n)$ や $2 (2 n)$ と数えてしまう誤り。1 組 ${i, j}$ につき $e_{i} + e_{j}, e_{i} - e_{j}, - e_{i} + e_{j}, - e_{i} - e_{j}$ の 4 個あるので、正しくは $4 (2 n) = 2 n (n - 1)$ 。したがって $B_{n}, C_{n}$ は $2 n^{2}$ 個、 $D_{n}$ は $2 n (n - 1)$ 個
$A_{n}$ を $R^{n}$ の $e_{i} - e_{j}$ とみて個数を $n (n - 1)$ としてしまう誤り。正しくは $A_{n}$ は $e_{1}, \dots, e_{n + 1}$ を使い、個数は $(n + 1) n$ 、単純ルートは $e_{1} - e_{2}, \dots, e_{n} - e_{n + 1}$ の $n$ 個
$D_{n}$ の単純ルートの最後を $e_{n}$ や $e_{n - 1} - e_{n}$ だけで済ませてしまう誤り。 $D_{n}$ に $e_{n}$ はルートとして存在せず、 $e_{k} - e_{k + 1}$ だけでは $e_{n - 1} + e_{n}$ が書けない。正しくは最後に $e_{n - 1} + e_{n}$ を加える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ とする。 $C_{3}$ 型のルート系
$Φ = {\pm e_{i} \pm e_{j} ∣ 1 \leq i < j \leq 3} \cup {\pm 2 e_{i} ∣ 1 \leq i \leq 3}$
のルート $α = e_{1} + e_{3}$ に関する鏡映を
$s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$
とする。ベクトル $x = 2 e_{1} - e_{2} + 4 e_{3}$ に対して、 $s_{α} (x)$ を成分で表したもの $(a, b, c)$ （ $s_{α} (x) = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3}$ ）を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ルート系と基本ウェイト（大学院数学表現論）
ワイル群の位数と軌道（大学院数学リー群・リー環）