ルート系と基本ウェイト

$\mathfrak{g}={\mathfrak{so}}_5(\mathbb{C})$（$B_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間 ${\mathfrak{h}}_{\mathbb{R}}^{\ast }$ の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、標準内積 $({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)={\delta }_{ij}$ について正規直交で、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm {\epsilon }_1,\pm {\epsilon }_2\}$$
となるようにとる。単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$、${\alpha }_2={\epsilon }_2$ とし、${\omega }_1,{\omega }_2$ を対応する基本ウェイト、すなわち
$$\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}(i,j=1,2)$$
を満たすウェイトとする。ウェイト
$$\lambda =\frac{7}{2}{\epsilon }_1+\frac{3}{2}{\epsilon }_2$$
を $\lambda =a_1{\omega }_1+a_2{\omega }_2$ と表すとき、組 $(a_1,a_2)$ をこの順に求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$ とし、対角行列全体をカルタン部分代数 $\mathfrak{h}$、上三角行列全体をボレル部分代数にとる。単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$（${\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}$、${\epsilon }_i$ は対角成分の第 $i$ 成分を取り出す線形形式）、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ とする。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V(\lambda )$ を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ と単純ルート ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を固定する。ここで ${\alpha }_1$ を短いルート、${\alpha }_2$ を長いルートとし、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 上の不変内積 $(\cdot ,\cdot )$ を
$$({\alpha }_1,{\alpha }_1)=1,({\alpha }_2,{\alpha }_2)=3,({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\frac{3}{2}$$
と正規化する。基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2$ を $\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}$ で定める。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の（複素ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とする。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1$（短いルート）、${\alpha }_2$（長いルート）とする。対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$ とする。$\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類は、支配的整ウェイト $\lambda =a{\omega }_1+b{\omega }_2$（$a,b$ は $0$ 以上の整数）と最高ウェイトによって $1$ 対 $1$ に対応する。

次元が $300$ 未満である $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類の個数を求めよ。ただし、自明表現（次元 $1$）も数に含める。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_4(\mathbb{C})$（$C_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm 2{\epsilon }_1,\pm 2{\epsilon }_2\}$$
となるようにとり、正ルートを ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_1+{\epsilon }_2,2{\epsilon }_1,2{\epsilon }_2$ とする（基本ウェイトは ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$）。

最高ウェイト $\lambda =3{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$（$=2{\omega }_1+{\omega }_2$）をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ の次元と、$V(\lambda )$ のウェイト $0$ の重複度（ウェイト空間 $V(\lambda {)}_0$ の次元）を、この順に組 $(\dim V(\lambda ),\dim V(\lambda {)}_0)$ で求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{so}}_7(\mathbb{C})$（$B_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm {\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となり、Killing 形式から定まる内積について ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ が（正の定数倍を除いて）正規直交となるようにとる。単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$, ${\alpha }_3={\epsilon }_3$ とし、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$, ${\omega }_3=\frac{1}{2}({\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3)$ とする。

最高ウェイト ${\omega }_1+{\omega }_3$ の有限次元既約表現を $V$ とする。$V$ の次元を $d$、$V$ におけるウェイト ${\omega }_3$ の重複度（ウェイト空間 $V_{{\omega }_3}$ の次元）を $m$ とするとき、$(d,m)$ をこの順に組で求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_6(\mathbb{C})$（$C_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を固定し、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm 2{\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となるようにとる。正ルート全体を
$${\Phi }^{+}=\{{\epsilon }_i-{\epsilon }_j,{\epsilon }_i+{\epsilon }_j(i<j)\}\cup \{2{\epsilon }_i\}$$
と定め、$\rho =\frac{1}{2}{\sum }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}\alpha =3{\epsilon }_1+2{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ とおく。最高ウェイト $\rho$ の有限次元既約 $\mathfrak{g}$ 加群を $V(\rho )$ とするとき、$V(\rho )$ のウェイト $0$ のウェイト空間 $V(\rho {)}_0$ の次元を求めよ。