表現論の問題

ワイルの次元公式
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\beta \in {\Phi }^{+}}\frac{⟨\lambda +\rho ,{\beta }^{\vee }⟩}{⟨\rho ,{\beta }^{\vee }⟩},{\beta }^{\vee }=\frac{2\beta }{(\beta ,\beta )},\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$$
を用いる。

正ルートと余ルート. $G_2$ の正ルートは
$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2,2{\alpha }_1+{\alpha }_2,3{\alpha }_1+{\alpha }_2,3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$$
の $6$ 個である。与えられた内積で長さの $2$ 乗を計算すると
$$({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2)=1+3-3=1,(2{\alpha }_1+{\alpha }_2,2{\alpha }_1+{\alpha }_2)=4+3-6=1,$$
$$(3{\alpha }_1+{\alpha }_2,3{\alpha }_1+{\alpha }_2)=9+3-9=3,(3{\alpha }_1+2{\alpha }_2,3{\alpha }_1+2{\alpha }_2)=9+12-18=3.$$
${\alpha }_1^{\vee }=2{\alpha }_1$, ${\alpha }_2^{\vee }=\frac{2}{3}{\alpha }_2$ なので、各余ルートは
$$({\alpha }_1+{\alpha }_2{)}^{\vee }=2{\alpha }_1+2{\alpha }_2={\alpha }_1^{\vee }+3{\alpha }_2^{\vee },(2{\alpha }_1+{\alpha }_2{)}^{\vee }=4{\alpha }_1+2{\alpha }_2=2{\alpha }_1^{\vee }+3{\alpha }_2^{\vee },$$
$$(3{\alpha }_1+{\alpha }_2{)}^{\vee }=2{\alpha }_1+\frac{2}{3}{\alpha }_2={\alpha }_1^{\vee }+{\alpha }_2^{\vee },(3{\alpha }_1+2{\alpha }_2{)}^{\vee }=2{\alpha }_1+\frac{4}{3}{\alpha }_2={\alpha }_1^{\vee }+2{\alpha }_2^{\vee }.$$

ペアリング. $\mu =m{\omega }_1+n{\omega }_2$ に対し $⟨\mu ,{\alpha }_i^{\vee }⟩$ はそれぞれ $m,n$ だから、6 個の正ルートについて
$$m,n,m+3n,2m+3n,m+n,m+2n$$
となる。

分母 ($\rho$, $m=n=1$): $1\cdot 1\cdot 4\cdot 5\cdot 2\cdot 3=120$.

分子 ($\lambda +\rho =3{\omega }_1+2{\omega }_2$, $m=3,n=2$): $3\cdot 2\cdot 9\cdot 12\cdot 5\cdot 7=22680$.

よって
$$\dim V(2{\omega }_1+{\omega }_2)=\frac{22680}{120}=189.$$
（確認: 同じ式で $\lambda ={\omega }_1$ なら $\frac{2\cdot 1\cdot 5\cdot 7\cdot 3\cdot 4}{120}=7$、$\lambda ={\omega }_2$ なら $\frac{1\cdot 2\cdot 7\cdot 8\cdot 3\cdot 5}{120}=14$ となり、$7$ 次元表現と随伴表現に一致する。）

ワイルの次元公式 $\dim V(\lambda )={\prod }_{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho ,\alpha )}{(\rho ,\alpha )}$ を使う。

正規化より $2({\alpha }_1,{\alpha }_2)/({\alpha }_1,{\alpha }_1)=-3$, $2({\alpha }_1,{\alpha }_2)/({\alpha }_2,{\alpha }_2)=-1$ で、$G_2$ のカルタン行列と整合する。正ルートは短いもの ${\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,2{\alpha }_1+{\alpha }_2$、長いもの ${\alpha }_2,3{\alpha }_1+{\alpha }_2,3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ の 6 個。

$({\omega }_i,{\alpha }_j)={\delta }_{ij}({\alpha }_j,{\alpha }_j)/2$ より、$\mu =a{\omega }_1+b{\omega }_2$ に対し $(\mu ,{\alpha }_1)=a/2$, $(\mu ,{\alpha }_2)=3b/2$。
$\lambda +\rho =3{\omega }_1+2{\omega }_2$ なので $(\lambda +\rho ,{\alpha }_1)=3/2$, $(\lambda +\rho ,{\alpha }_2)=3$。$\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ なので $(\rho ,{\alpha }_1)=1/2$, $(\rho ,{\alpha }_2)=3/2$。

各正ルートでの比:
- ${\alpha }_1$: $(3/2)/(1/2)=3$
- ${\alpha }_2$: $3/(3/2)=2$
- ${\alpha }_1+{\alpha }_2$: $(9/2)/2=9/4$
- $2{\alpha }_1+{\alpha }_2$: $6/(5/2)=12/5$
- $3{\alpha }_1+{\alpha }_2$: $(15/2)/3=5/2$
- $3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$: $(21/2)/(9/2)=7/3$

積: $3\cdot 2\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{12}{5}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{3}=189$。

検算: $G_2$ の既約表現の次元は 1, 7, 14, 27, 64, 77, 77, 182, 189, ... で、189 はその一つ（${\omega }_1$ が 7 次元表現の最高ウェイトで、$(a,b)=(2,1)$ に対応）。整数になっており矛盾しない。