表現論の問題

ウェイトを $(a,b)=a{\epsilon }_1+b{\epsilon }_2$ と書く。ワイル群 $W$ は座標の入れ替えと符号の変更全体（位数 $8$）で、支配的ウェイトは $a\ge b\ge 0$ の整数の組である。

1. ワイルの次元公式

$\rho$ は正ルートの和の半分で $\rho =\frac{1}{2}((1,-1)+(1,1)+(2,0)+(0,2))=(2,1)$。標準内積を用いると
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\beta >0}\frac{(\lambda +\rho ,\beta )}{(\rho ,\beta )}.$$
$\lambda +\rho =(5,2)$ で、各正ルートについて
- $\beta ={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$: $(\lambda +\rho ,\beta )=3$, $(\rho ,\beta )=1$
- $\beta ={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$: $7$, $3$
- $\beta =2{\epsilon }_1$: $10$, $4$
- $\beta =2{\epsilon }_2$: $4$, $2$

よって
$$\dim V(\lambda )=\frac{3\cdot 7\cdot 10\cdot 4}{1\cdot 3\cdot 4\cdot 2}=\frac{840}{24}=35.$$

2. テンソル積への埋め込み

$V(2,0)$ は随伴表現（$\dim 10$）で、ウェイトは $\pm 2{\epsilon }_i$, $\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2$（各重複度 $1$）と $0$（重複度 $2=$ 階数）。$V(1,1)$ は $5$ 次元表現（${\mathfrak{sp}}_4\cong {\mathfrak{so}}_5$ のベクトル表現）で、ウェイトは $\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2$ と $0$（各重複度 $1$）。（次元はいずれも上の公式で確かめられる: $\lambda =(2,0)$ なら $\frac{3\cdot 5\cdot 8\cdot 2}{24}=10$、$\lambda =(1,1)$ なら $\frac{1\cdot 5\cdot 6\cdot 4}{24}=5$。）

ブラウアー・クリムイクの公式を用いる。支配的整ウェイト $\lambda ,\mu$ に対し、$V(\mu )$ のウェイト $\nu$ の重複度を $m_{\mu }(\nu )$ とすると
$$V(\lambda )\otimes V(\mu )=\sum _{\nu }{m}_{\mu }(\nu )\mathrm{sgn}(w_{\nu })V(w_{\nu }(\lambda +\nu +\rho )-\rho )$$
（表現環での等式）。ここで $w_{\nu }\in W$ は $w_{\nu }(\lambda +\nu +\rho )$ が支配的になる元で、$\lambda +\nu +\rho$ がある鏡映で固定される（ある正ルートと直交する）ときはその項は $0$ とする。

$\lambda =(2,0)$, $\mu =(1,1)$ とし、$V(1,1)$ の各ウェイト $\nu$（重複度はすべて $1$）について $\lambda +\nu +\rho =(4,1)+\nu$ を計算する:
- $\nu =(1,1)$: $\lambda +\nu +\rho =(5,2)$（支配的かつ正則）$\to V((5,2)-\rho )=V(3,1)$
- $\nu =(1,-1)$: $\lambda +\nu +\rho =(5,0)$ は $2{\epsilon }_2$ と直交し、その鏡映で固定されるので寄与 $0$
- $\nu =(-1,1)$: $\lambda +\nu +\rho =(3,2)$（支配的かつ正則）$\to V((3,2)-\rho )=V(1,1)$
- $\nu =(-1,-1)$: $\lambda +\nu +\rho =(3,0)$ は $2{\epsilon }_2$ と直交し、寄与 $0$
- $\nu =(0,0)$: $\lambda +\nu +\rho =(4,1)$（支配的かつ正則）$\to V((4,1)-\rho )=V(2,0)$

したがって
$$V(2,0)\otimes V(1,1)\cong V(3,1)\oplus V(2,0)\oplus V(1,1)$$
（次元: $10\cdot 5=50=35+10+5$ で一致）。

3. ウェイト $0$ の重複度

テンソル積のウェイト $0$ の重複度は ${\sum }_w{m}_{(2,0)}(w)m_{(1,1)}(-w)$ で、
- $w=0$: $2\cdot 1=2$
- $w=\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2$（4 個）: $1\cdot 1$ ずつで $4$

の合計 $6$。これから $V(2,0)$ の分 $2$ と $V(1,1)$ の分 $1$ を引いて
$$\dim V(3,1{)}_0=6-2-1=3.$$

検算

同様にテンソル積の各支配的ウェイトの重複度を数えると $(3,1):1$, $(2,2):1$, $(2,0):3$, $(1,1):5$, $(0,0):6$ で、$V(2,0)$, $V(1,1)$ の分を引くと $V(3,1)$ の重複度は $(3,1):1$, $(2,2):1$, $(2,0):2$, $(1,1):3$, $(0,0):3$。ワイル群軌道の大きさはそれぞれ $8,4,4,4,1$ なので
$$8\cdot 1+4\cdot 1+4\cdot 2+4\cdot 3+1\cdot 3=35$$
となり、次元公式の結果と一致する。

答えは $(35,3)$。

ワイル次元公式: $\rho =2{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$ なので $\lambda +\rho =(5,2)$。正ルート $\alpha$ について $⟨\lambda +\rho ,{\alpha }^{\vee }⟩$ と $⟨\rho ,{\alpha }^{\vee }⟩$ は、${\epsilon }_1-{\epsilon }_2$: $3,1$、${\epsilon }_1+{\epsilon }_2$: $7,3$、$2{\epsilon }_1$: $5,2$、$2{\epsilon }_2$: $2,1$。よって $\dim V(\lambda )=\frac{3\cdot 7\cdot 5\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=35$。

ウェイト $0$ の重複度: $V(2{\epsilon }_1)$（随伴表現, 次元10）と $V({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)$（次元5）のテンソル積 $10\otimes 5$（次元50）を考える。最高ウェイトは $(3,1)$ で、$10\otimes 5=V(\lambda )\oplus V(2{\epsilon }_1)\oplus V({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)$（$50=35+10+5$）。10 のウェイトは根（重複度1）と $0$（重複度2）、5 のウェイトは $(\pm 1,\pm 1)$ と $0$（重複度1）。$10\otimes 5$ でのウェイト $0$ の重複度は、$\mu =-\nu$ となる組を数えて $4\cdot 1+2\cdot 1=6$。$V(2{\epsilon }_1)$ での重複度は 2、$V({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)$ では 1。よって $\dim V(\lambda {)}_0=6-2-1=3$。

検算: 支配的ウェイト $(3,1),(2,2),(2,0),(1,1),(0,0)$ の重複度は同様の計算で $1,1,2,3,3$、軌道の大きさは $8,4,4,4,1$ なので $8+4+8+12+3=35$ となり次元と一致する。