表現論の問題

ウェイトを $\epsilon$ 座標で $(a_1,a_2,a_3)=a_1{\epsilon }_1+a_2{\epsilon }_2+a_3{\epsilon }_3$ と書く。

次元（ワイルの次元公式）

正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$, ${\epsilon }_i+{\epsilon }_j$（$i<j$）, ${\epsilon }_i$ の $9$ 個である。$\rho$ は正ルートの和の半分で
$$\rho ={\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right).$$
$\lambda ={\omega }_1+{\omega }_3=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ より $\lambda +\rho =(4,2,1)$。ワイルの次元公式
$$\dim V=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho ,\alpha )}{(\rho ,\alpha )}$$
において、$x=(x_1,x_2,x_3)$ に対し ${\prod }_{\alpha >0}(x,\alpha )={\prod }_{i<j}(x_i-x_j)(x_i+x_j)\cdot x_1{x}_2{x}_3$ である（内積の正の定数倍は分子・分母で打ち消し合う）。

• $x=(4,2,1)$: $(2\cdot 3\cdot 1)(6\cdot 5\cdot 3)(4\cdot 2\cdot 1)=6\cdot 90\cdot 8=4320$
• $x=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$: $(1\cdot 2\cdot 1)(4\cdot 3\cdot 2)\left(\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)=2\cdot 24\cdot \frac{15}{8}=90$

よって $d=\frac{4320}{90}=48$。同様に $\dim V({\omega }_1)$ は $\lambda +\rho =\left(\frac{7}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ から $7$、$\dim V({\omega }_3)$ は $\lambda +\rho =(3,2,1)$ から $8$ と求まる（それぞれ $7$ 次元の自然表現とスピン表現）。

重複度（テンソル積の分解）

$V({\omega }_1)$ のウェイトは $\pm {\epsilon }_i$（$i=1,2,3$）と $0$ で、すべて重複度 $1$（次元 $7$ と一致）。$V({\omega }_3)$ のウェイトは $\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ の $8$ 個で、すべて重複度 $1$（${\omega }_3$ のワイル群軌道がちょうど $8$ 個で次元と一致）。

$W=V({\omega }_1)\otimes V({\omega }_3)$（次元 $56$）のウェイトは両者のウェイトの和である。

• ウェイト $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)={\omega }_1+{\omega }_3$ を与える和は ${\epsilon }_1+\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ だけなので重複度 $1$。
• ウェイト $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)={\omega }_3$ を与える和は、$0+\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ と、${\epsilon }_i$ に第 $i$ 成分だけ $-\frac{1}{2}$ のウェイトを足したもの（$i=1,2,3$）の計 $4$ 通り（$-{\epsilon }_i$ を使うと第 $i$ 成分が $\frac{3}{2}$ 必要になり不可能）。よって重複度 $4$。

$W$ のウェイトはすべて半整数座標で、絶対値の大きい順に並べると $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ か $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ の形なので、$W$ の支配的ウェイトは ${\omega }_1+{\omega }_3$ と ${\omega }_3$ だけである。完全可約性より $W$ は既約表現の直和で、各既約成分の最高ウェイトは支配的なので
$$W\cong V({\omega }_1+{\omega }_3)\oplus V({\omega }_3{)}^{\oplus k}$$
（$V({\omega }_1+{\omega }_3)$ は最高ウェイトの重複度が $1$ なのでちょうど $1$ 回現れる）。次元を比べて $56=48+8k$、よって $k=1$。

ウェイト ${\omega }_3$ の重複度を比べると、$V({\omega }_3)$ での重複度は $1$ なので
$$m=4-1=3.$$

（確認: $V$ のウェイトは $\left(\pm \frac{3}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ 型の $24$ 個（重複度 $1$）と $\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ の $8$ 個（重複度 $3$）で、$24+8\cdot 3=48=d$ と一致する。）

答えは $(d,m)=(48,3)$ である。

最高ウェイトは $\lambda ={\omega }_1+{\omega }_3=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$（$\epsilon$ 座標）。

【次元】$\rho =\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ なので $\lambda +\rho =(4,2,1)$。ワイルの次元公式 $d={\prod }_{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho ,\alpha )}{(\rho ,\alpha )}$ を正ルート ${\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j,{\epsilon }_i$ で計算する。
- ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2$: $\frac{2}{1}$、${\epsilon }_1+{\epsilon }_2$: $\frac{6}{4}$
- ${\epsilon }_1-{\epsilon }_3$: $\frac{3}{2}$、${\epsilon }_1+{\epsilon }_3$: $\frac{5}{3}$
- ${\epsilon }_2-{\epsilon }_3$: $\frac{1}{1}$、${\epsilon }_2+{\epsilon }_3$: $\frac{3}{2}$
- ${\epsilon }_1$: $\frac{4}{5/2}=\frac{8}{5}$、${\epsilon }_2$: $\frac{2}{3/2}=\frac{4}{3}$、${\epsilon }_3$: $\frac{1}{1/2}=2$

積は $2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot 1\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{8}{5}\cdot \frac{4}{3}\cdot 2=48$。よって $d=48$。

【重複度】スピン表現 $S=V({\omega }_3)$（次元 $8$、ウェイトは $\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ で重複度はすべて $1$）とベクトル表現 $U=V({\omega }_1)$（次元 $7$、ウェイトは $\pm {\epsilon }_i$ と $0$）のテンソル積は、最高ウェイト ${\omega }_1+{\omega }_3$ の成分を含み、次元を比べると $8\cdot 7=56=48+8$ より
$$S\otimes U\cong V({\omega }_1+{\omega }_3)\oplus V({\omega }_3).$$

${\omega }_3=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ の $S\otimes U$ における重複度を数える。スピンウェイト $s$ とベクトルウェイト $u$ で $s+u={\omega }_3$ となる組は
- $u=0$、$s={\omega }_3$: $1$ 通り
- $u={\epsilon }_i$、$s={\omega }_3-{\epsilon }_i$（成分が $-\frac{1}{2}$ に変わるだけで有効）: $i=1,2,3$ で $3$ 通り
- $u=-{\epsilon }_i$、$s={\omega }_3+{\epsilon }_i$（成分が $\frac{3}{2}$ になり無効）: $0$ 通り

合計 $4$。$V({\omega }_3)=S$ における ${\omega }_3$ の重複度は $1$ なので、$V(\lambda )$ における重複度は $m=4-1=3$。

検算: $V(\lambda )$ のウェイト全体の個数を、$S\otimes U$ から $S$ を引いて見ると、${\omega }_3$ のウェイトは $\lambda =(3/2,1/2,1/2)$ から ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 方向などに下がった位置にあり、$W$ 軌道上のドミナント・ウェイト $(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ と $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ のみがこの表現の支配的ウェイトで、重複度は前者 $1$、後者 $3$。軌道の大きさは $24$（$(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ の符号と置換: $3\cdot 8=24$）と $8$ なので、$24\cdot 1+8\cdot 3=48=d$ となり次元と一致する。

よって $(d,m)=(48,3)$。