表現論の問題

$\mathfrak{g}={\mathfrak{so}}_7(\mathbb{C})$（$B_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm {\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となり、Killing 形式から定まる内積について ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ が（正の定数倍を除いて）正規直交となるようにとる。単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$, ${\alpha }_3={\epsilon }_3$ とし、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$, ${\omega }_3=\frac{1}{2}({\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3)$ とする。

最高ウェイト ${\omega }_1+{\omega }_3$ の有限次元既約表現を $V$ とする。$V$ の次元を $d$、$V$ におけるウェイト ${\omega }_3$ の重複度（ウェイト空間 $V_{{\omega }_3}$ の次元）を $m$ とするとき、$(d,m)$ をこの順に組で求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_4(\mathbb{C})$（$C_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm 2{\epsilon }_1,\pm 2{\epsilon }_2\}$$
となるようにとり、正ルートを ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_1+{\epsilon }_2,2{\epsilon }_1,2{\epsilon }_2$ とする（基本ウェイトは ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$）。

最高ウェイト $\lambda =3{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$（$=2{\omega }_1+{\omega }_2$）をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ の次元と、$V(\lambda )$ のウェイト $0$ の重複度（ウェイト空間 $V(\lambda {)}_0$ の次元）を、この順に組 $(\dim V(\lambda ),\dim V(\lambda {)}_0)$ で求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_6(\mathbb{C})$（$C_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を固定し、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm 2{\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となるようにとる。正ルート全体を
$${\Phi }^{+}=\{{\epsilon }_i-{\epsilon }_j,{\epsilon }_i+{\epsilon }_j(i<j)\}\cup \{2{\epsilon }_i\}$$
と定め、$\rho =\frac{1}{2}{\sum }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}\alpha =3{\epsilon }_1+2{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ とおく。最高ウェイト $\rho$ の有限次元既約 $\mathfrak{g}$ 加群を $V(\rho )$ とするとき、$V(\rho )$ のウェイト $0$ のウェイト空間 $V(\rho {)}_0$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$（$A_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2$、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$（$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$）とする。正ルートは ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ の $3$ 個である。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ と単純ルート ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を固定する。ここで ${\alpha }_1$ を短いルート、${\alpha }_2$ を長いルートとし、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 上の不変内積 $(\cdot ,\cdot )$ を
$$({\alpha }_1,{\alpha }_1)=1,({\alpha }_2,{\alpha }_2)=3,({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\frac{3}{2}$$
と正規化する。基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2$ を $\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}$ で定める。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の（複素ベクトル空間としての）次元を求めよ。