表現論の問題

1. $V(\rho )$ の指標. $\mu \in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ に対し $A_{\mu }={\sum }_{w\in W}\mathrm{sgn}(w)e^{w\mu }$ とおく（$W$ はワイル群）。ワイルの指標公式より $\mathrm{ch}V(\lambda )=A_{\lambda +\rho }/A_{\rho }$ であり、ワイルの分母公式より
$$A_{\rho }=\prod _{\alpha \in {\Phi }^{+}}\left(e^{\alpha /2}-e^{-\alpha /2}\right).$$
$\lambda =\rho$ のとき分子は $A_{2\rho }$ である。群環の準同型 $e^{\mu }\mapsto e^{2\mu }$ を分母公式に適用すると $A_{2\rho }={\prod }_{\alpha >0}(e^{\alpha }-e^{-\alpha })$ を得る。したがって
$$\mathrm{ch}V(\rho )=\prod _{\alpha \in {\Phi }^{+}}\frac{e^{\alpha }-e^{-\alpha }}{e^{\alpha /2}-e^{-\alpha /2}}=\prod _{\alpha \in {\Phi }^{+}}\left(e^{\alpha /2}+e^{-\alpha /2}\right)=e^{\rho }\prod _{\alpha \in {\Phi }^{+}}\left(1+e^{-\alpha }\right).$$
（検算：$e^{\mu }\mapsto 1$ とすると $\dim V(\rho )=2^{|{\Phi }^{+}|}=2^9=512$ となる。これはワイルの次元公式 ${\prod }_{\alpha >0}\frac{(2\rho ,\alpha )}{(\rho ,\alpha )}=2^9$ と一致する。）

右辺を展開すると、部分集合 $S\subset {\Phi }^{+}$ ごとに項 $e^{\rho -{\sum }_{\alpha \in S}\alpha }$ が 1 つずつ現れる。よって
$$\dim V(\rho {)}_0=\#\{S\subset {\Phi }^{+}|\sum _{\alpha \in S}\alpha =\rho =(3,2,1)\}$$
である。以下、$\epsilon$ 座標で $(a,b,c)=a{\epsilon }_1+b{\epsilon }_2+c{\epsilon }_3$ と書く。

2. 数え上げの準備. 正ルートに次の名前をつける。
- $A=(1,-1,0)$, $B=(1,0,-1)$, $C=(0,1,-1)$（座標和 $0$）
- $D=(1,1,0)$, $E=(1,0,1)$, $F=(0,1,1)$, $G=(2,0,0)$, $H=(0,2,0)$, $K=(0,0,2)$（座標和 $2$）

目標 $(3,2,1)$ の座標和は $6$ である。したがって $S$ は $\{D,E,F,G,H,K\}$ からちょうど $3$ 個を含む。

$\{A,B,C\}$ の部分集合の和とその個数は次のとおりである。
- $(0,0,0)$：1 通り（$\varnothing$）
- $(1,-1,0)$：1 通り（$A$）
- $(1,0,-1)$：2 通り（$B$ と $\{A,C\}$）
- $(0,1,-1)$：1 通り（$C$）
- $(2,-1,-1)$：1 通り（$\{A,B\}$）
- $(1,1,-2)$：1 通り（$\{B,C\}$）
- $(2,0,-2)$：1 通り（$\{A,B,C\}$）

3. 数え上げ. $\{D,\dots ,K\}$ の $3$ 元部分集合（$20$ 通り）それぞれについて、和 $s$ と残り $r=(3,2,1)-s$ を求め、$r$ を $\{A,B,C\}$ の部分和で表す方法の数を数える。
- $DEF$：$s=(2,2,2)$, $r=(1,0,-1)$ → 2
- $DEG$：$s=(4,1,1)$, $r=(-1,1,0)$ → 0
- $DEH$：$s=(2,3,1)$, $r=(1,-1,0)$ → 1
- $DEK$：$s=(2,1,3)$, $r=(1,1,-2)$ → 1
- $DFG$：$s=(3,2,1)$, $r=(0,0,0)$ → 1
- $DFH$：$s=(1,4,1)$, $r=(2,-2,0)$ → 0
- $DFK$：$s=(1,2,3)$, $r=(2,0,-2)$ → 1
- $DGH$：$s=(3,3,0)$, $r=(0,-1,1)$ → 0
- $DGK$：$s=(3,1,2)$, $r=(0,1,-1)$ → 1
- $DHK$：$s=(1,3,2)$, $r=(2,-1,-1)$ → 1
- $EFG$：$s=(3,1,2)$, $r=(0,1,-1)$ → 1
- $EFH$：$s=(1,3,2)$, $r=(2,-1,-1)$ → 1
- $EFK$：$s=(1,1,4)$, $r=(2,1,-3)$ → 0
- $EGH$：$s=(3,2,1)$, $r=(0,0,0)$ → 1
- $EGK$：$s=(3,0,3)$, $r=(0,2,-2)$ → 0
- $EHK$：$s=(1,2,3)$, $r=(2,0,-2)$ → 1
- $FGH$：$s=(2,3,1)$, $r=(1,-1,0)$ → 1
- $FGK$：$s=(2,1,3)$, $r=(1,1,-2)$ → 1
- $FHK$：$s=(0,2,4)$, $r=(3,0,-3)$ → 0
- $GHK$：$s=(2,2,2)$, $r=(1,0,-1)$ → 2

合計は $2+0+1+1+1+0+1+0+1+1+1+1+0+1+0+1+1+1+0+2=16$ である。

（整合性の確認：${\sum }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}\alpha =2\rho$ なので、$S$ が条件をみたせば補集合 ${\Phi }^{+}\setminus S$ も条件をみたす。実際に $DEF\leftrightarrow GHK$ などが対応しており、数え上げは対称になっている。）

よって $\dim V(\rho {)}_0=16$ である。

$V(\rho )$ の指標は ${\prod }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}(e^{\alpha /2}+e^{-\alpha /2})=e^{\rho }{\prod }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}(1+e^{-\alpha })$ と書ける（ワイルの指標公式と $\rho$ の性質による）。したがってウェイト $0$ の重複度は、${\Phi }^{+}$ の部分集合 $S$ で ${\sum }_{\alpha \in S}\alpha =\rho =(3,2,1)$ となるものの個数に等しい。

正ルートに対応する 0/1 変数を次のようにおく。
$a={\epsilon }_1-{\epsilon }_2,b={\epsilon }_1-{\epsilon }_3,c={\epsilon }_2-{\epsilon }_3,d={\epsilon }_1+{\epsilon }_2,e={\epsilon }_1+{\epsilon }_3,f={\epsilon }_2+{\epsilon }_3,g=2{\epsilon }_1,h=2{\epsilon }_2,k=2{\epsilon }_3$。

条件は次の 3 式である。
$a+b+d+e+2g=3$,
$-a+c+d+f+2h=2$,
$-b-c+e+f+2k=1$。

この 3 式を足すと $d+e+f=3-(g+h+k)$ が得られる。$(g,h,k)$ の 8 通りについて $a,\dots ,f$ の解を数える。

• $(0,0,0)$: $d=e=f=1$、$c=a$、$b=1-a$ より 2 個。
• $(0,0,1)$: 2 個。
• $(0,1,0)$: 2 個。
• $(0,1,1)$: 2 個。
• $(1,0,0)$: 2 個。
• $(1,0,1)$: 2 個。
• $(1,1,0)$: 2 個。
• $(1,1,1)$: $d=e=f=0$、$c=a$、$b=1-a$ より 2 個。

各場合を個別に確認して、いずれも解はちょうど 2 個であった。合計は $2\times 8=16$。

よって $\dim V(\rho {)}_0=16$。全次元は $2^9=512$ で、零ウェイト空間の次元がそれより小さいことと矛盾しない。