sl₂ の有限次元表現

定義。 基底 $e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ をとると、括弧積は $[h,e]=2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h$ です。${\mathfrak{sl}}_2(\mathbb{C})$ の表現とは、有限次元複素ベクトル空間 $V$ への線形写像 $\rho :{\mathfrak{sl}}_2(\mathbb{C})\to \mathrm{End}(V)$ で、括弧積を保つ、すなわち $\rho ([x,y])=\rho (x)\rho (y)-\rho (y)\rho (x)$ をみたすものです（以下 $\rho (x)v$ を $xv$ と略します）。部分空間 $W\subset V$ がすべての $x$ について $xW\subset W$ をみたすとき部分表現といい、$V\ne 0$ で部分表現が $0$ と $V$ だけのとき既約といいます。$\rho (h)$ の固有値をウェイト、その固有空間の次元を重複度といいます。二つの表現 $V,W$ のテンソル積 $V\otimes W$ には $x(v\otimes w)=xv\otimes w+v\otimes xw$（つまり $x$ が $x\otimes 1+1\otimes x$）で作用させます。これが括弧積を保つことは、展開すると交差項 $xv\otimes yw$ と $yv\otimes xw$ が打ち消し合うことから確かめられます。

既約表現の形。 括弧積を保つことから $\rho (h)\rho (e)=\rho (e)\rho (h)+\rho ([h,e])$ なので、$hv=\lambda v$ のとき $h(ev)=ehv+2ev=(\lambda +2)ev$、同様に $h(fv)=(\lambda -2)fv$ です。つまり $e$ はウェイトを $2$ 上げ、$f$ は $2$ 下げます（$0$ になることもある）。$V$ を既約とします。$\rho (h)$ は $\mathbb{C}$ 上に固有値 $\lambda$ をもち、固有値は有限個なので、$\lambda ,\lambda +2,\lambda +4,\dots$ のうち固有値であって次は固有値でないもの $\mu$ がとれます。その固有ベクトル $v_0$ は $e{v}_0=0$ をみたします。$v_k=f^k{v}_0$（$v_{-1}=0$）とおくと $h{v}_k=(\mu -2k)v_k$ です。さらに $e{v}_k=k(\mu -k+1)v_{k-1}$ が $k$ についての帰納法で示せます。$k=0$ では $e{v}_0=0$ で成り立ち、$k$ で成り立てば $[e,f]=h$ より
$$e{v}_{k+1}=ef{v}_k=fe{v}_k+h{v}_k=k(\mu -k+1)v_k+(\mu -2k)v_k=(k+1)(\mu -k)v_k$$
となるからです。$0$ でない $v_k$ どうしは異なる固有値の固有ベクトルなので一次独立であり、$V$ は有限次元だから、ある $n\ge 0$ で $v_n\ne 0,v_{n+1}=0$ となります（以後 $v_k=0$）。すると $0=e{v}_{n+1}=(n+1)(\mu -n)v_n$ より $\mu =n$ で、最高ウェイトは非負整数です。$v_0,\dots ,v_n$ の張る空間は $h$（固有ベクトル）、$f$（$v_k\mapsto v_{k+1}$、$f{v}_n=0$）、$e$（上の式）で写しても自分自身に入るので部分表現で、$0$ でないから既約性により $V$ 全体です。こうして既約表現は、最高ウェイト $n$ で決まる $V(n)$（次元 $n+1$）であり、ウェイトは $n,n-2,\dots ,-n$、各重複度 $1$ です。逆に各 $n\ge 0$ について、基底 $v_0,\dots ,v_n$ に上の式で $e,f,h$ を作用させると表現になります。

分解の仕方。 この技能では、次の事実を証明なしに仮定して使います：${\mathfrak{sl}}_2(\mathbb{C})$ の有限次元表現は既約表現の直和に分解される（ワイルの完全可約性定理）。この事実を認めると、直和ではウェイトの重複度が成分ごとに足し合わされ、各 $V(k)$ はウェイト $n$ を（$n\equiv k(\mathrm{mod}2)$ かつ $|n|\le k$ のとき）ちょうど 1 回もつので、ウェイト $n\ge 0$ の重複度を $m_n$ とすると、$V(n)$ の個数は $m_n-m_{n+2}$ と決まります。実際の計算では、最大のウェイトから順に $V(n)$ を「はがして」いけばよいです。テンソル積ではウェイト $\mu$ のベクトル $v$ とウェイト $\nu$ のベクトル $w$ について $h(v\otimes w)=(\mu +\nu )v\otimes w$ なので、$V(m)\otimes V(n)$ のウェイトは $V(m)$ と $V(n)$ のウェイトの和を全組について並べたものです。$m\ge n$ のとき、ウェイト $m+n-2j$ の重複度は $0\le j\le n$ の範囲で $j+1$ と $1$ ずつ増え、そこから $j\le \frac{m+n}{2}$ までは $n+1$ のまま一定です。よって $m_{m+n-2j}-m_{m+n-2j+2}$ は $0\le j\le n$ のとき $1$、それ以外で $0$ となり、クレブシュ・ゴルダン分解
$$V(m)\otimes V(n)=\underset{k=0}{\overset{\min (m,n)}{⨁}}V(m+n-2k)$$
が得られます。次元の検算 ${\sum }_{k=0}^n(m+n-2k+1)=(n+1)(m+n+1)-n(n+1)=(m+1)(n+1)$ も成り立ちます。