表現論の問題

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$（$A_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2$、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$（$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$）とする。正ルートは ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ の $3$ 個である。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$（$A_3$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$（${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+{\epsilon }_4=0$）で表す。ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i\ne j)$、正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i<j)$ とし、ワイル群 $W\cong S_4$ は添字の置換として作用する。

最高ウェイト $\lambda ={\epsilon }_1-{\epsilon }_4$ をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ に現れる支配的ウェイトは $\lambda$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $\lambda$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $\dim V(\lambda {)}_0$ を求めよ。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $2$ 次元複素既約表現とする。$V$ の指標 $\chi$ は、単位元 $e$、互換（$3$ 個）、長さ $3$ の巡回置換（$2$ 個）の各共役類で、それぞれ
$$\chi (e)=2,\chi (\text{互換})=0,\chi (\text{3-cycle})=-1$$
をとる。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$ を求めよ。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とする。$G$ の共役類は単位元 $e$ のみからなる類（$1$ 元）、互換の類（$3$ 元）、長さ $3$ の巡回置換の類（$2$ 元）の $3$ つであり、$G$ の複素既約指標は次の表の ${\chi }_1$（自明指標）、${\chi }_2$（符号指標）、${\chi }_3$ の $3$ つである。

$G$ のある $5$ 次元複素表現 $V$ の指標 $\chi$ が
$$\chi (e)=5,\chi ((12))=1,\chi ((123))=-1$$
であるとする。$V$ を既約表現の直和に分解したときの ${\chi }_1,{\chi }_2,{\chi }_3$ に対応する既約表現の重複度を $m_1,m_2,m_3$ とするとき、組 $(m_1,m_2,m_3)$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$（${\mathbb{F}}_7$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群）とする。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。