表現論の問題

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とする。$G$ の共役類は単位元 $e$ のみからなる類（$1$ 元）、互換の類（$3$ 元）、長さ $3$ の巡回置換の類（$2$ 元）の $3$ つであり、$G$ の複素既約指標は次の表の ${\chi }_1$（自明指標）、${\chi }_2$（符号指標）、${\chi }_3$ の $3$ つである。

$G$ のある $5$ 次元複素表現 $V$ の指標 $\chi$ が
$$\chi (e)=5,\chi ((12))=1,\chi ((123))=-1$$
であるとする。$V$ を既約表現の直和に分解したときの ${\chi }_1,{\chi }_2,{\chi }_3$ に対応する既約表現の重複度を $m_1,m_2,m_3$ とするとき、組 $(m_1,m_2,m_3)$ をこの順に求めよ。

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ 上の $4$ 次対称群とする。$\{1,2,3,4\}$ の $2$ 元部分集合全体を $X$ とし（$|X|=6$）、$V$ を $X$ の元 $A$ に対応する基底 $\{e_A\mid A\in X\}$ をもつ $6$ 次元複素ベクトル空間とする。$g\in G$ を $g\cdot e_A=e_{g(A)}$（$g(A)=\{g(a)\mid a\in A\}$）と線形に作用させて得られる $G$ の表現の指標を $\chi$ とする。

$$\chi (e),\chi ((12)),\chi ((123)),\chi ((1234)),\chi ((12)(34))$$

の値をこの順に組で求めよ。ただし $e$ は単位元である。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$X$ を集合 $\{1,2,3,4\}$ のちょうど $2$ 個の元からなる部分集合全体（$|X|=6$）とする。$G$ は $g\cdot A=g(A)$ によって $X$ に作用する。この作用から得られる置換表現 $\mathbb{C}[X]$（基底 $\{e_A\mid A\in X\}$ に $g\cdot e_A=e_{g(A)}$ で作用する複素表現）について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(\mathbb{C}[X])$ を求めよ。

$S_3$ を $3$ 次対称群、$D_4$ を正方形の二面体群（位数 $8$）とし、$G=S_3\times D_4$（位数 $48$）とおく。$S_3$ の複素既約表現の次元は $1,1,2$、$D_4$ の複素既約表現の次元は $1,1,1,1,2$ であることを用いてよい。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。