表現論の問題

方針. $V$ は集合 $X$ の置換表現である。$g$ の表現行列は、基底 $e_A$ を $e_{g(A)}$ に移す置換行列なので、対角成分が $1$ になるのは $g(A)=A$ のときだけで、それ以外の対角成分は $0$ である。したがって
$$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g)=\#\{A\in X\mid g(A)=A\}$$
となり、指標の値は $g$ で固定される $2$ 元部分集合の個数である。

$g=e$. すべての $A$ が固定されるので $\chi (e)=|X|=6$。これは $\chi (e)=\dim V=6$ とも一致する。

$g=(12)$. $g$ は $1\leftrightarrow 2$ を入れかえ、$3,4$ を動かさない。$2$ 元部分集合 $A$ が固定されるのは、$A$ が $g$ の軌道 $\{1,2\},\{3\},\{4\}$ の和集合になっているときである。大きさ $2$ のものは $\{1,2\}$ と $\{3\}\cup \{4\}=\{3,4\}$ の $2$ つ。よって $\chi ((12))=2$。

$g=(123)$. 軌道は $\{1,2,3\},\{4\}$ で、それらの和集合で大きさ $2$ のものはない。よって $\chi ((123))=0$。

$g=(1234)$. 軌道は $\{1,2,3,4\}$ だけなので、大きさ $2$ の和集合はない。よって $\chi ((1234))=0$。

$g=(12)(34)$. 軌道は $\{1,2\},\{3,4\}$ で、大きさ $2$ の和集合は $\{1,2\},\{3,4\}$ の $2$ つ。よって $\chi ((12)(34))=2$。

（指標は共役類の上で一定なので、これで $S_4$ の $5$ つの共役類すべての値が求まったことになる。）

以上より、求める組は $(6,2,0,0,2)$ である。

置換表現の指標は、$g$ で不変な 2 元部分集合 $A$（$g(A)=A$）の個数に等しい。$\chi (g)=|\{A\in X\mid g(A)=A\}|$。

• $e$: すべての 6 個が不変なので $\chi (e)=6$。
• $(12)$: $\{1,2\}\mapsto \{2,1\}$ 不変、$\{3,4\}$ 不変。$\{1,3\}\mapsto \{2,3\}$、$\{1,4\}\mapsto \{2,4\}$ などは不変でない。よって $\chi =2$。
• $(123)$: $\{1,2\}\mapsto \{2,3\}$、$\{1,3\}\mapsto \{2,1\}$、$\{2,3\}\mapsto \{3,1\}$、$\{1,4\}\mapsto \{2,4\}$、$\{2,4\}\mapsto \{3,4\}$、$\{3,4\}\mapsto \{1,4\}$。不変なものはなく $\chi =0$。
• $(1234)$: $\{1,2\}\mapsto \{2,3\}$、$\{2,3\}\mapsto \{3,4\}$、$\{3,4\}\mapsto \{4,1\}$、$\{1,4\}\mapsto \{2,1\}$、$\{1,3\}\mapsto \{2,4\}$、$\{2,4\}\mapsto \{3,1\}$。不変なものはなく $\chi =0$（$\{1,3\},\{2,4\}$ は入れ替わる）。
• $(12)(34)$: $\{1,2\}$、$\{3,4\}$ は不変。$\{1,3\}\mapsto \{2,4\}$、$\{1,4\}\mapsto \{2,3\}$ は不変でない。よって $\chi =2$。

検算: 共役類の大きさ $1,6,8,6,3$ と値 $6,2,0,0,2$ から $⟨\chi ,1⟩=(6+12+0+0+6)/24=1$ となり、$G$ が 2 元部分集合全体に推移的に作用することと整合する。また $\sum |\chi {|}^2/24=(36+24+0+0+12)/24=3$ で、軌道数 1 の置換表現 $1+\text{(2 次元)}+\text{(3 次元)}$ の既約成分 3 個と合う。