表現論

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ 上の $4$ 次対称群とする。$\{1,2,3,4\}$ の $2$ 元部分集合全体を $X$ とし（$|X|=6$）、$V$ を $X$ の元 $A$ に対応する基底 $\{e_A\mid A\in X\}$ をもつ $6$ 次元複素ベクトル空間とする。$g\in G$ を $g\cdot e_A=e_{g(A)}$（$g(A)=\{g(a)\mid a\in A\}$）と線形に作用させて得られる $G$ の表現の指標を $\chi$ とする。

$$\chi (e),\chi ((12)),\chi ((123)),\chi ((1234)),\chi ((12)(34))$$

の値をこの順に組で求めよ。ただし $e$ は単位元である。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_2(\mathbb{C})$ とし、$0$ 以上の整数 $n$ に対して $V(n)$ を最高ウェイト $n$ の $(n+1)$ 次元既約表現とする（$h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ の固有値をウェイトとよぶ）。テンソル積表現 $V(3)\otimes V(2)$ を既約表現の直和に分解したとき、直和因子として現れる $V(n)$ の $n$ の値をすべて求めよ。

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $12$ の巡回群とする。$G$ の複素既約指標 $\chi$ のうち、$\chi (g^3)=1$ を満たすものの個数を求めよ。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とする。$G$ の共役類は単位元 $e$ のみからなる類（$1$ 元）、互換の類（$3$ 元）、長さ $3$ の巡回置換の類（$2$ 元）の $3$ つであり、$G$ の複素既約指標は次の表の ${\chi }_1$（自明指標）、${\chi }_2$（符号指標）、${\chi }_3$ の $3$ つである。

$G$ のある $5$ 次元複素表現 $V$ の指標 $\chi$ が
$$\chi (e)=5,\chi ((12))=1,\chi ((123))=-1$$
であるとする。$V$ を既約表現の直和に分解したときの ${\chi }_1,{\chi }_2,{\chi }_3$ に対応する既約表現の重複度を $m_1,m_2,m_3$ とするとき、組 $(m_1,m_2,m_3)$ をこの順に求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{so}}_5(\mathbb{C})$（$B_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間 ${\mathfrak{h}}_{\mathbb{R}}^{\ast }$ の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、標準内積 $({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)={\delta }_{ij}$ について正規直交で、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm {\epsilon }_1,\pm {\epsilon }_2\}$$
となるようにとる。単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$、${\alpha }_2={\epsilon }_2$ とし、${\omega }_1,{\omega }_2$ を対応する基本ウェイト、すなわち
$$\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}(i,j=1,2)$$
を満たすウェイトとする。ウェイト
$$\lambda =\frac{7}{2}{\epsilon }_1+\frac{3}{2}{\epsilon }_2$$
を $\lambda =a_1{\omega }_1+a_2{\omega }_2$ と表すとき、組 $(a_1,a_2)$ をこの順に求めよ。

$D_4$ を正方形の二面体群（位数 $8$）とし、$r$ を $\frac{\pi }{2}$ 回転、$s$ を鏡映として $D_4=\{e,r,r^2,r^3,s,sr,s{r}^2,s{r}^3\}$、$r^4=s^2=e$、$sr{s}^{-1}=r^{-1}$ と表す。$D_4$ の複素既約表現（同型類）の次元を、小さい順に重複も込めてすべて並べた組を求めよ。

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $2$ 次元複素既約表現とする。$V$ の指標 $\chi$ は、単位元 $e$、互換（$3$ 個）、長さ $3$ の巡回置換（$2$ 個）の各共役類で、それぞれ
$$\chi (e)=2,\chi (\text{互換})=0,\chi (\text{3-cycle})=-1$$
をとる。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi ({\sigma }^k)=i^k$（$k=0,1,2,3$、$i$ は虚数単位）で定める。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の指標を $\pi$ とし、$\chi =\pi -1$（$\chi (g)=(g\text{ の固定点の個数})-1$）を $G$ の $3$ 次元既約表現の指標とする。誘導表現 ${\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ における、指標 $\chi$ をもつ既約表現の重複度 $⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi ,\chi {⟩}_G$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$X$ を集合 $\{1,2,3,4\}$ のちょうど $2$ 個の元からなる部分集合全体（$|X|=6$）とする。$G$ は $g\cdot A=g(A)$ によって $X$ に作用する。この作用から得られる置換表現 $\mathbb{C}[X]$（基底 $\{e_A\mid A\in X\}$ に $g\cdot e_A=e_{g(A)}$ で作用する複素表現）について、${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(\mathbb{C}[X])$ を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$（$A_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2$、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$（$({\omega }_i,{\alpha }_j^{\vee })={\delta }_{ij}$）とする。正ルートは ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ の $3$ 個である。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、複素数体上の表現を考える。$G$ の共役類は巡回型で分類され、代表元 $e,(12),(12)(34),(123),(1234)$ をもつ $5$ つの類があり、その大きさはこの順に $1,6,3,8,6$ である。$G$ の既約指標のうち、次の $4$ つはすでにわかっているとする。

• 自明な指標 ${\chi }_1$
• 符号指標 ${\chi }_{\mathrm{sgn}}$（${\chi }_{\mathrm{sgn}}(\sigma )=\mathrm{sgn}\sigma$）
• $\{1,2,3,4\}$ への置換表現の指標から ${\chi }_1$ を引いた $3$ 次元既約指標 ${\chi }_3$
• ${\chi }_3$ と ${\chi }_{\mathrm{sgn}}$ の積 ${\chi }_3^{\prime }={\chi }_3{\chi }_{\mathrm{sgn}}$（$3$ 次元既約指標）

$G$ には残りの既約指標 ${\chi }_2$ がちょうど $1$ つある。${\chi }_2$ の $(12),(12)(34),(123),(1234)$ での値を、この順に組 $({\chi }_2((12)),{\chi }_2((12)(34)),{\chi }_2((123)),{\chi }_2((1234)))$ として求めよ。

$S_3$ を $3$ 次対称群、$D_4$ を正方形の二面体群（位数 $8$）とし、$G=S_3\times D_4$（位数 $48$）とおく。$S_3$ の複素既約表現の次元は $1,1,2$、$D_4$ の複素既約表現の次元は $1,1,1,1,2$ であることを用いてよい。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

$7$ 次対称群 $S_7$ の複素既約表現（同型類）は $7$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(4,2,1)$ に対応する既約表現 $S^{(4,2,1)}$ の次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$（$A_3$ 型の複素単純リー環）を考える。対角行列からなるカルタン部分代数をとり、そのウェイトを ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$（${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+{\epsilon }_4=0$）で表す。ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i\ne j)$、正ルートは ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j(i<j)$ とし、ワイル群 $W\cong S_4$ は添字の置換として作用する。

最高ウェイト $\lambda ={\epsilon }_1-{\epsilon }_4$ をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ に現れる支配的ウェイトは $\lambda$ と $0$ の $2$ つだけであること、および最高ウェイト $\lambda$ の重複度が $1$ であることを用いてよい。ウェイト $0$ の重複度 $\dim V(\lambda {)}_0$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$（${\mathbb{F}}_7$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群）とする。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。

$S_3$ を 3 次対称群、$C_4$ を位数 $4$ の巡回群とし、$G=S_3\times C_4$ とおく。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

$8$ 次対称群 $S_8$ の複素既約表現（同型類）は、$8$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(4,3,1)$ に対応する既約表現 $S^{(4,3,1)}$ の複素ベクトル空間としての次元を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_4(\mathbb{C})$ とし、対角行列全体をカルタン部分代数 $\mathfrak{h}$、上三角行列全体をボレル部分代数にとる。単純ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$（${\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}$、${\epsilon }_i$ は対角成分の第 $i$ 成分を取り出す線形形式）、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ とする。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V(\lambda )$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2$ 次正方行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の和を求めよ。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(n-2,2)$（第 $1$ 行に $n-2$ 個、第 $2$ 行に $2$ 個の箱をもつヤング図形）に対応する $S^{\lambda }$ の次元を $n$ の式で求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

$G$ を有限群、$V$ を複素数体 $\mathbb{C}$ 上の $0$ でない有限次元ベクトル空間とし、$\rho :G\to GL(V)$ を $G$ の表現、$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g)$ をその指標とする。$n=\dim V$ とおく。$G^{\prime }$ は $G$ の交換子群（交換子 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ $(x,y\in G)$ 全体で生成される部分群）とする。

すべての $g\in G$ に対して $|\chi (g)|=n$ が成り立つと仮定する。このとき、すべての $h\in G^{\prime }$ に対して $\rho (h)={\mathrm{id}}_V$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 各 $g\in G$ に対し、$\rho (g)$ は対角化可能であり、その固有値はすべて $1$ のべき根（特に絶対値 $1$ の複素数）である。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

$G$ を
$$G=⟨a,b\mid a^7=b^3=1,ba{b}^{-1}=a^2⟩$$
で定まる位数 $21$ の群とする。$G$ の $3$ 次元の複素既約表現 $V$ を $1$ つとる（このような表現は存在する）。$G$ の表現 $V\otimes V$（$G$ は $g\cdot (v\otimes w)=gv\otimes gw$ で作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を求めよ。

$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書き、$\lambda$ の共役分割（ヤング図形を転置した分割）を ${\lambda }^{\prime }$ と書く。$A_n$ を $n$ 次交代群とする。必要なら次の事実を用いてよい。

• $\lambda \ne {\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は既約であり、$S^{\lambda }$ と $S^{{\lambda }^{\prime }}$ の制限は互いに同型である。
• $\lambda ={\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は、互いに同型でない $2$ つの既約表現の直和に分解し、それらの次元はともに $\frac{1}{2}\dim S^{\lambda }$ である。
• $A_n$ の複素既約表現はすべて、ある $S^{\lambda }$ の $A_n$ への制限の既約成分として現れる。

$8$ 次交代群 $A_8$ の複素既約表現の次元の最大値を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $48$）とする。正の整数 $d$ に対し、$G$ の複素既約表現の同型類のうち次元がちょうど $d$ であるものの個数を $a_d$ とおく。組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=SL(2,{\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2\times 2$ 行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現（同型類）の次元を小さい順に重複を込めてすべて並べた組 $(d_1,d_2,\dots ,d_r)$（$d_1\le d_2\le \cdots \le d_r$）を求めよ。

$G$ を位数 $21$ の非可換群とし、$g\in G$ を位数 $7$ の元とする。$\chi$ が $G$ の複素既約指標全体を動くとき、$\chi (g)$ のとりうる値の集合を求めよ。

4 次対称群 $S_4$ は ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する。その部分空間
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
は $S_4$ の 3 次元の既約表現である。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、$S_4$ 準同型全体のなす空間
$${\mathrm{End}}_{S_4}(V\otimes V)=\{f:V\otimes V\to V\otimes V\mid f\text{ は線形で }f(\sigma w)=\sigma f(w)(\sigma \in S_4,w\in V\otimes V)\}$$
の $\mathbb{C}$ 上の次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、群環 $V=\mathbb{C}[G]$ を、$g\in G$ が基底 $\{e_h\mid h\in G\}$ に $g\cdot e_h=e_{gh{g}^{-1}}$ と作用する $G$ の複素表現（共役表現）とみなす。$G$ 準同型 $V\to V$ 全体のなす $\mathbb{C}$ ベクトル空間 ${\mathrm{End}}_G(V)$ の次元を求めよ。

$S_7$ を 7 次対称群とする。$S_7$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元が奇数であるものの個数を求めよ。

$S_{10}$ を $10$ 次対称群とし、$\mathrm{sgn}:S_{10}\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ をその符号表現とする。$S_{10}$ の有限次元複素既約表現 $V$ の同型類のうち、$V\otimes \mathrm{sgn}\cong V$ をみたすものすべてについて、それらの次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V$ の和を求めよ。

$S_5$ を $5$ 次対称群とし、$S_5$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現を $P$ とする。$P$ の部分表現
$$V=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考える（$\dim V=4$）。$4$ 重テンソル積 $V^{\otimes 4}=V\otimes V\otimes V\otimes V$（$S_5$ は各成分に同時に作用する）を既約分解したとき、自明表現が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}(V^{\otimes 4}{)}^{S_5}$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$3n$ 次対称群 $S_{3n}$ の複素既約表現は $3n$ の分割と一対一に対応する（分割 $\lambda$ に対応する Specht 加群を $S^{\lambda }$ と書く）。$3$ 行 $n$ 列の長方形のヤング図形に対応する分割 $\lambda =(n,n,n)$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{S}^{\lambda }$ を $n$ の式で表せ。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ と単純ルート ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を固定する。ここで ${\alpha }_1$ を短いルート、${\alpha }_2$ を長いルートとし、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 上の不変内積 $(\cdot ,\cdot )$ を
$$({\alpha }_1,{\alpha }_1)=1,({\alpha }_2,{\alpha }_2)=3,({\alpha }_1,{\alpha }_2)=-\frac{3}{2}$$
と正規化する。基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2$ を $\frac{2({\omega }_i,{\alpha }_j)}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)}={\delta }_{ij}$ で定める。最高ウェイト $\lambda =2{\omega }_1+{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現 $V(\lambda )$ の（複素ベクトル空間としての）次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$n+3$ 次対称群 $S_{n+3}$ の複素既約表現（同型類）は $n+3$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(n,2,1)$（$1$ 行目に $n$ 個、$2$ 行目に $2$ 個、$3$ 行目に $1$ 個の箱をもつヤング図形）に対応する既約表現 $S^{(n,2,1)}$ の次元を $n$ の式で表せ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)$ とする。$H=N_G(⟨\sigma ⟩)$ を $\sigma$ が生成する巡回部分群の $G$ における正規化群とする（$H$ は位数 $10$ の二面体群で、$⟨\sigma ⟩$ を指数 $2$ の部分群として含む）。$\epsilon :H\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$⟨\sigma ⟩$ 上で $1$、$H\setminus ⟨\sigma ⟩$ 上で $-1$ をとる $1$ 次元表現とし、
$$U={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$$
とおく（$\dim U=6$）。$G$ の $5$ 次元の複素既約表現を $W$ とする（$A_5$ の $5$ 次元既約表現は同型を除いてただ $1$ つである）。$G$ の表現 $U\otimes U$ における $W$ の重複度、すなわち $\dim {\mathrm{Hom}}_G(W,U\otimes U)$ を求めよ。

$m$ を正の整数とし、$2m$ の分割 $\lambda =(m,m)$（ヤング図形が長さ $m$ の行 2 つからなる分割）を考える。$\lambda$ に対応する対称群 $S_{2m}$ の複素既約表現の次元を $f^{\lambda }$ と書く。

$f^{\lambda }$ が奇数であるための必要十分条件は、ある正の整数 $r$ を用いて $m=2^r-1$ と表せることであることを証明せよ。

ただし、次の 2 つは証明なしに用いてよい。
- （フック長公式）$n$ の分割 $\mu$ に対応する $S_n$ の既約表現の次元は $f^{\mu }=\frac{n!}{{\prod }_{x}h(x)}$ である。ここで積は $\mu$ のヤング図形のすべての箱 $x$ にわたり、$h(x)$ は $x$ のフック長（$x$ 自身、$x$ の右にある同じ行の箱、$x$ の下にある同じ列の箱の個数の合計）である。
- （リュカの定理、法 2）非負整数 $a,b$ を 2 進展開して $a={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{2}^i$, $b={\sum }_{i\ge 0}{b}_i{2}^i$（$a_i,b_i\in \{0,1\}$ で、有限個の $i$ を除いて $0$）とすると $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\equiv \prod _{i\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i}\right)(\mathrm{mod}2)$ が成り立つ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)=0$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=1$ とする。

表現・指標はすべて複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限次元のものとする。$G$ を有限群とし、$G^{\prime }$ をその交換子群とする。また
$$N=\#\{(x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}$$
を、$G$ の可換な元の順序対の個数とする。このとき
$$4N\le |G|(|G|+3[G:G^{\prime }])$$
が成り立ち、さらに等号が成り立つための必要十分条件は「$G$ の次数が $1$ でない既約指標の次数がすべて $2$ であること」（そのような既約指標が存在しない場合も含む）であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限群 $G$ の既約指標の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。
- 既約指標の次数を $d_1,\dots ,d_k$ とすると ${\sum }_{i=1}^k{d}_i^2=|G|$ である。
- $G$ の次数 $1$ の指標の個数は $[G:G^{\prime }]$ に等しい。

$G=\mathrm{SO}(3)$ とし、各整数 $\ell \ge 0$ に対して $V_{\ell }$ を $G$ の $2\ell +1$ 次元複素既約表現とする（たとえば $\ell$ 次の調和多項式のなす空間）。回転角 $\theta$ の回転における $V_{\ell }$ の指標の値は
$${\chi }_{\ell }(\theta )=\frac{\sin \frac{(2\ell +1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}(\theta \ne 0),{\chi }_{\ell }(0)=2\ell +1$$
であることを用いてよい。

$H\subset G$ を、原点を中心とし各辺が座標軸に平行な立方体を自分自身に移す回転全体のなす部分群（位数 $24$）とする。$H$ は $3$ 本の座標軸（$x$ 軸・$y$ 軸・$z$ 軸）の集合に置換として作用し、これにより全射準同型 $H\to S_3$ が得られる。これと $S_3$ の $2$ 次元複素既約表現を合成して得られる $H$ の $2$ 次元既約表現を $\rho$ とする。

テンソル積表現 $V_5\otimes V_5$ を $H$ に制限した表現における $\rho$ の重複度を求めよ。

$\mathfrak{g}$ を $G_2$ 型の複素単純リー環とする。カルタン部分代数と正ルート系を固定し、単純ルートを ${\alpha }_1$（短いルート）、${\alpha }_2$（長いルート）とする。対応する基本ウェイトを ${\omega }_1,{\omega }_2$ とする。$\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類は、支配的整ウェイト $\lambda =a{\omega }_1+b{\omega }_2$（$a,b$ は $0$ 以上の整数）と最高ウェイトによって $1$ 対 $1$ に対応する。

次元が $300$ 未満である $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現の同型類の個数を求めよ。ただし、自明表現（次元 $1$）も数に含める。

$n\ge 3$ を奇数とし、位数 $2n$ の二面体群
$$G=D_n=⟨r,s\mid r^n=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える。部分群 $H=\{1,s\}$ の $1$ 次元複素表現 $\epsilon$ を $\epsilon (s)=-1$ で定め、誘導表現を $V={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$（$n$ 次元の $G$ の複素表現）とおく。テンソル積表現 $V\otimes V$（$G$ は対角的に作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を $n$ の式で表せ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_4(\mathbb{C})$（$C_2$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2,\pm 2{\epsilon }_1,\pm 2{\epsilon }_2\}$$
となるようにとり、正ルートを ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_1+{\epsilon }_2,2{\epsilon }_1,2{\epsilon }_2$ とする（基本ウェイトは ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$）。

最高ウェイト $\lambda =3{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$（$=2{\omega }_1+{\omega }_2$）をもつ有限次元既約表現を $V(\lambda )$ とする。$V(\lambda )$ の次元と、$V(\lambda )$ のウェイト $0$ の重複度（ウェイト空間 $V(\lambda {)}_0$ の次元）を、この順に組 $(\dim V(\lambda ),\dim V(\lambda {)}_0)$ で求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の 5 次交代群とし、$H\subset G$ を $5$ を固定する元全体のなす部分群（$H\cong A_4$）とする。$H$ の正規部分群 $K=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ による商 $H/K$ は位数 $3$ の巡回群であり、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とおく。$H$ の 1 次元表現 $\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$K$ 上で $1$、$\psi ((123))=\omega$ となるものとする。

誘導表現 $U={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ に対し、$G$ の表現としての自己準同型環の次元
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(U\otimes U)$$
を求めよ。ここで $U\otimes U$ には $G$ が対角的に作用する。

$G=S_7$ を $7$ 次対称群とし、$\sigma =(1234567)\in G$ が生成する位数 $7$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi (\sigma )=e^{2\pi i/7}$ で定め、誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$（$\dim W=720$）を考える。$G$ の各複素既約表現 $\rho$ に対し、$W$ を既約表現の直和に分解したときの $\rho$ の重複度を $m_{\rho }$ とする。$\rho$ が $G$ の複素既約表現の同型類全体を動くときの和
$$\sum _{\rho }{m}_{\rho }^2$$
を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$（${\mathbb{F}}_5$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $480$）とする。$G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の総和
$$\sum _{\rho }\dim \rho$$
を求めよ。

$\mathfrak{g}={\mathfrak{so}}_7(\mathbb{C})$（$B_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ の双対空間の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm {\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となり、Killing 形式から定まる内積について ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ が（正の定数倍を除いて）正規直交となるようにとる。単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$, ${\alpha }_3={\epsilon }_3$ とし、対応する基本ウェイトを ${\omega }_1={\epsilon }_1$, ${\omega }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$, ${\omega }_3=\frac{1}{2}({\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3)$ とする。

最高ウェイト ${\omega }_1+{\omega }_3$ の有限次元既約表現を $V$ とする。$V$ の次元を $d$、$V$ におけるウェイト ${\omega }_3$ の重複度（ウェイト空間 $V_{{\omega }_3}$ の次元）を $m$ とするとき、$(d,m)$ をこの順に組で求めよ。

表現・指標はすべて複素数体上の有限次元のものとする。有限群 $K$ 上の複素数値関数 $\alpha ,\beta$ に対し、内積を $⟨\alpha ,\beta {⟩}_K=\frac{1}{|K|}{\sum }_{k\in K}\alpha (k)\overline{\beta (k)}$ で定める。群 $G$ の線形指標とは、群準同型 $G\to {\mathbb{C}}^{\times }$（次数 $1$ の指標）のこととする。

$G$ を有限群、$\chi$ を $G$ の既約指標とし、
$$L=\{\lambda \mid \lambda \text{ は }G\text{ の線形指標で、すべての }g\in G\text{ について }\chi (g)\lambda (g)=\chi (g)\}$$
とおく。このとき、$L$ の元の個数 $|L|$ は $\chi (1{)}^2$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 指標の第 1 直交関係: $G$ の既約指標 $\psi ,{\psi }^{\prime }$ について、$\psi ={\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=1$、$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=0$
- クリフォードの定理: $K$ が $G$ の正規部分群で $\chi$ が $G$ の既約指標ならば、正の整数 $e,t$ と、互いに相異なる $K$ の既約指標 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_t$ で、すべて同じ次数をもち、${\chi }_K=e({\theta }_1+\cdots +{\theta }_t)$ をみたすものが存在する（${\chi }_K$ は $\chi$ の $K$ への制限）

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_6(\mathbb{C})$（$C_3$ 型の複素単純リー環）を考える。カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を固定し、${\mathfrak{h}}^{\ast }$ の基底 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ を、ルート系が
$$\Phi =\{\pm {\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j(1\le i<j\le 3)\}\cup \{\pm 2{\epsilon }_i(1\le i\le 3)\}$$
となるようにとる。正ルート全体を
$${\Phi }^{+}=\{{\epsilon }_i-{\epsilon }_j,{\epsilon }_i+{\epsilon }_j(i<j)\}\cup \{2{\epsilon }_i\}$$
と定め、$\rho =\frac{1}{2}{\sum }_{\alpha \in {\Phi }^{+}}\alpha =3{\epsilon }_1+2{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ とおく。最高ウェイト $\rho$ の有限次元既約 $\mathfrak{g}$ 加群を $V(\rho )$ とするとき、$V(\rho )$ のウェイト $0$ のウェイト空間 $V(\rho {)}_0$ の次元を求めよ。