表現論の問題

$S_7$ の複素既約表現の同型類は $7$ の分割 $\lambda$ と 1 対 1 に対応し（シュペヒト加群 $S^{\lambda }$）、その次元はフック長公式
$$\dim S^{\lambda }=f^{\lambda }=\frac{7!}{{\prod }_{(i,j)\in \lambda }h(i,j)}$$
で与えられる。ここで $h(i,j)$ は箱 $(i,j)$ のフック長（右の箱の数 $+$ 下の箱の数 $+1$）、$7!=5040$ である。

また、共役分割 ${\lambda }^{\prime }$ のヤング図形は $\lambda$ を転置したもので、フック長の多重集合は等しいから $f^{{\lambda }^{\prime }}=f^{\lambda }$。よって $\lambda$ と ${\lambda }^{\prime }$ の一方を計算すればよい。

$7$ の分割は 15 個ある。各分割のフック長（行ごと）と次元は次のとおり。

• $(7)$: フック長の積 $7!$、$f=1$。共役 $(1^7)$ も $1$。
• $(6,1)$: $7,5,4,3,2,1\mid 1$、積 $840$、$f=6$。共役 $(2,1^5)$ も $6$。
• $(5,2)$: $6,5,3,2,1\mid 2,1$、積 $360$、$f=14$。共役 $(2,2,1,1,1)$ も $14$。
• $(5,1,1)$: $7,4,3,2,1\mid 2\mid 1$、積 $336$、$f=15$。共役 $(3,1^4)$ も $15$。
• $(4,3)$: $5,4,3,1\mid 3,2,1$、積 $360$、$f=14$。共役 $(2,2,2,1)$ も $14$。
• $(4,2,1)$: $6,4,2,1\mid 3,1\mid 1$、積 $144$、$f=35$。共役 $(3,2,1,1)$ も $35$。
• $(4,1,1,1)$: $7,3,2,1\mid 3\mid 2\mid 1$、積 $252$、$f=20$。（自己共役）
• $(3,3,1)$: $5,3,2\mid 4,2,1\mid 1$、積 $240$、$f=21$。共役 $(3,2,2)$ も $21$。

（検算: $1^2\cdot 2+6^2\cdot 2+14^2\cdot 4+15^2\cdot 2+35^2\cdot 2+20^2+21^2\cdot 2=2+72+784+450+2450+400+882=5040=|S_7|$。）

次元が奇数のものは
$$(7),(1^7)(f=1),(5,1,1),(3,1^4)(f=15),(4,2,1),(3,2,1,1)(f=35),(3,3,1),(3,2,2)(f=21)$$
の $8$ 個である。

（参考: $n=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots$（2 進展開）のとき、奇数次元の既約表現の個数は $2^{a_1+a_2+\cdots }$ であることが知られている。$7=2^2+2^1+2^0$ より $2^3=8$ で一致する。）

$S_7$ の既約表現は 7 の分割 15 個に対応し、次元は六脚公式（フック長公式）$f^{\lambda }=7!/\prod h$ で求まる。

• $(7)$: 1
• $(6,1)$: 6
• $(5,2)$: 14
• $(5,1,1)$: 15
• $(4,3)$: 14
• $(4,2,1)$: 35
• $(4,1,1,1)$: 20
• $(3,3,1)$: 21
• $(3,2,2)$: 21
• $(3,2,1,1)$: 35
• $(3,1^4)$: 15
• $(2,2,2,1)$: 14
• $(2,2,1,1,1)$: 14
• $(2,1^5)$: 6
• $(1^7)$: 1

検算: 平方和 $1+36+196+225+196+1225+400+441+441+1225+225+196+196+36+1=5040=7!$ となり正しい。

奇数次元のものは 1, 15, 35, 21, 21, 35, 15, 1 の 8 個。

別の方法での確認: Macdonald の定理により、$n$ の 2 進展開 $n=2^{k_1}+\cdots +2^{k_r}$ に対し、奇数次元既約表現の個数は $\prod 2^{k_i}$。$7=4+2+1$ より $4\cdot 2\cdot 1=8$。一致する。