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表現論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学表現論

$S_{3}$ を 3 次対称群、 $C_{4}$ を位数 $4$ の巡回群とし、 $G = S_{3} \times C_{4}$ とおく。 $G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（64 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

直積群の既約表現は、各因子の既約表現のテンソル積として得られます。

ヒント 2

$S_{3}$ の既約表現の次元は $1, 1, 2$ 、 $C_{4}$ の既約表現は $1$ 次のものが $4$ 個です。

ヒント 3

$G$ の既約表現の次元は $dim V \cdot dim W$ です。次元が $2$ になる組 $(V, W)$ を数えましょう。

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解説を読む

有限群の直積 $G_{1} \times G_{2}$ の複素既約表現は、 $G_{1}$ の既約表現 $V$ と $G_{2}$ の既約表現 $W$ の外部テンソル積 $V ⊠ W$ としてちょうど 1 回ずつ得られ、その次元は $dim V \cdot dim W$ である。

$S_{3}$ の既約表現は、自明表現・符号表現（いずれも $1$ 次）と、 $2$ 次の標準表現の $3$ 個である（ $1^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 6$ ）。 $C_{4}$ はアーベル群なので、既約表現は $1$ 次のものが $4$ 個。

よって $G$ の既約表現は
- $1$ 次: $2 \times 4 = 8$ 個、
- $2$ 次: $1 \times 4 = 4$ 個

であり、合計 $12$ 個（ $G$ の共役類の個数 $3 \times 4 = 12$ と一致し、 $8 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} = 24 = ∣ G ∣$ も成り立つ）。

したがって次元 $2$ の既約表現は $4$ 個である。

別解

直積群の複素既約表現は、各因子の既約表現の外部テンソル積で尽くされ、次元は積になる。

$S_{3}$ の既約表現は次元 1（自明, 符号）が 2 個、次元 2 が 1 個。 $C_{4}$ の既約表現は全て 1 次元で 4 個。

次元がちょうど 2 になるのは ( $S_{3}$ の 2 次元) $\otimes$ ( $C_{4}$ の 1 次元) の場合のみで、 $1 \times 4 = 4$ 個。

検算: $\sum dim^{2} = (1 + 1 + 4) \cdot 4 = 24 = ∣ G ∣$ 。