表現論の問題

既約指標の書き下し. $G$ はアーベル群なので、複素既約表現はすべて $1$ 次元であり、既約指標は準同型 $\chi :G\to {\mathbb{C}}^{\times }$ そのものである。$\chi$ は生成元の像 $\chi (g)$ で決まり、$g^{12}=e$ から $\chi (g{)}^{12}=\chi (e)=1$。よって $\chi (g)$ は $1$ の $12$ 乗根である。

$\zeta =\cos \frac{2\pi }{12}+i\sin \frac{2\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$ とおくと、$1$ の $12$ 乗根は ${\zeta }^k(k=0,1,\dots ,11)$ の $12$ 個で、既約指標は
$${\chi }_k(g^j)={\zeta }^{kj}(k=0,1,\dots ,11)$$
の $12$ 個である（個数は $|G|=[G:[G,G]]=12$ と一致する）。

条件を調べる. ド・モアブルの定理より
$${\chi }_k(g^3)={\zeta }^{3k}=\cos \frac{\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi k}{2}=i^k.$$
$i^k=1$ となるのは $k$ が $4$ の倍数のとき、すなわち $k=0,4,8$ のときである。

よって条件を満たす既約指標は ${\chi }_0,{\chi }_4,{\chi }_8$ の $3$ 個である。

$G$ は可換なので既約指標はすべて 1 次元で、$\zeta =e^{2\pi i/12}$ として ${\chi }_k(g^m)={\zeta }^{km}$ （$k=0,1,\dots ,11$）の 12 個である。

${\chi }_k(g^3)={\zeta }^{3k}=e^{2\pi ik/4}=1$ となる条件は $4\mid k$。$0\le k\le 11$ では $k=0,4,8$ の 3 個。

検算: $\chi \mapsto \chi (g^3)$ により、これらは $G/⟨g^3⟩$（位数 3）の指標とは別に、$g^3$ が位数 4 であることから $\chi$ が $⟨g^3⟩$ 上自明となる指標の個数 $=|G/⟨g^3⟩|=12/4=3$ と一致する。