表現論の問題

手順 1: 直積群の既約表現の形を確認する。

有限群の直積 $G\times H$ の複素既約表現は、$G$ の既約表現 $V$ と $H$ の既約表現 $W$ の外部テンソル積 $V⊠W$ で尽くされ、$(V,W)$ が異なれば $V⊠W$ は互いに同型でない。また $\dim (V⊠W)=\dim V\cdot \dim W$ である。

したがって $G=S_3\times D_4$ の既約表現は、$S_3$ の既約表現 $3$ 個と $D_4$ の既約表現 $5$ 個の組 $3\times 5=15$ 個と $1$ 対 $1$ に対応する。

手順 2: 次元が $2$ になる組を数える。

$\dim V\cdot \dim W=2$ となるのは次の $2$ 通りである。

• $\dim V=1,\dim W=2$: $V$ は $2$ 通り、$W$ は $1$ 通りで $2\times 1=2$ 個
• $\dim V=2,\dim W=1$: $V$ は $1$ 通り、$W$ は $4$ 通りで $1\times 4=4$ 個

和の法則より $2+4=6$ 個。

確認: 次元 $1$ のものは $2\times 4=8$ 個、次元 $4$ のものは $1\times 1=1$ 個なので、$8\cdot 1^2+6\cdot 2^2+1\cdot 4^2=8+24+16=48=|G|$ となり、$\sum d_i^2=|G|$ と合う。

よって答えは $6$ である。

有限群 $A,B$ の直積 $A\times B$ の複素既約表現は、$A$ の既約表現 $V$ と $B$ の既約表現 $W$ の外部テンソル積 $V⊠W$ と同型なものでちょうど尽くされ、$(V,W)$ の組と既約表現の同型類が 1 対 1 に対応する。次元は $\dim V\cdot \dim W$ である。

次元が 2 になるのは $(\dim V,\dim W)=(1,2)$ または $(2,1)$ の場合のみ（次元は正の整数の積で、$S_3$ 側は 1,1,2、$D_4$ 側は 1,1,1,1,2）。

• $(\dim V,\dim W)=(1,2)$: $S_3$ の 1 次元表現は 2 個、$D_4$ の 2 次元表現は 1 個なので $2\times 1=2$ 個。
• $(\dim V,\dim W)=(2,1)$: $S_3$ の 2 次元表現は 1 個、$D_4$ の 1 次元表現は 4 個なので $1\times 4=4$ 個。

合計 $2+4=6$ 個。

検算: 全既約表現は $3\times 5=15$ 個で、次元の平方和は $(1+1+4)(1+1+1+1+4)=6\cdot 8=48=|G|$ となり整合する。2 次元のものの寄与は $6\cdot 4=24$、他は 1 次元が $2\cdot 4=8$ 個で寄与 $8$、4 次元が $1\cdot 1=1$ 個で寄与 $16$、合計 $8+24+16=48$。