表現論の問題

手順 1: 既約表現の個数を求める。 既約表現の個数は共役類の個数に等しい。$sr{s}^{-1}=r^{-1}$ より $r^k$ は $r^{-k}$ と共役であり、また $r(s{r}^k)r^{-1}=s{r}^{k-2}$ より鏡映 $s{r}^k$ は $s{r}^{k\pm 2}$ と共役である。したがって $D_4$ の共役類は
$$\{e\},\{r^2\},\{r,r^3\},\{s,s{r}^2\},\{sr,s{r}^3\}$$
の $5$ 個（大きさの和は $1+1+2+2+2=8$ で位数と一致）。よって既約表現はちょうど $5$ 個ある。

手順 2: 次元の条件を書く。 既約表現の次元を $d_1\le d_2\le \cdots \le d_5$ とすると
$$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2+d_5^2=|D_4|=8,d_i\mid 8.$$
また自明表現があるので $d_1=1$。

手順 3: 条件を満たす組を決める。 各 $d_i\ge 1$ なので $d_i^2\le 8-4=4$、すなわち $d_i\in \{1,2\}$。次元 $2$ のものが $k$ 個あるとすると $4k+(5-k)=8$ より $3k=3$、$k=1$。よって次元は $1,1,1,1,2$ である。

（確認: アーベル化 $D_4/⟨r^2⟩$ は位数 $4$ なので $1$ 次元表現は $4$ 個あり、上の結果と一致する。）

答えは $(1,1,1,1,2)$。

$D_4$ の共役類は $\{e\},\{r^2\},\{r,r^3\},\{s,s{r}^2\},\{sr,s{r}^3\}$ の 5 つなので、複素既約表現（同型類）は 5 個。次元を $d_1,\dots ,d_5$ とすると $\sum d_i^2=8$。$D_4$ の交換子群は $\{e,r^2\}$ で、アーベル化 $D_4/⟨r^2⟩\cong C_2\times C_2$ から 1 次元表現はちょうど 4 個。残りの 1 個の次元を $d$ とすると $4\cdot 1+d^2=8$ より $d=2$（正方形の自然な表現）。したがって次元は $1,1,1,1,2$。検算: $1+1+1+1+4=8=|D_4|$。