対称群の共役類

$6$ 次対称群 $S_6$ において、置換
$$\sigma =(135)(26)$$
を考える。$S_6$ の元のうち $\sigma$ と共役であるもの（$\sigma$ 自身も含む）の個数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$ の置換 $$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 6& 2& 1& 5& 3\end{array}\right)$$ を考える。$S_6$ において $\sigma$ と共役な元、すなわち $\tau \sigma {\tau }^{-1}$（$\tau \in S_6$）の形に表される置換の個数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$ の元
$$\sigma =(14)(265)$$
を考える。$S_6$ において $\sigma$ と共役な元（$\tau \sigma {\tau }^{-1}$（$\tau \in S_6$）の形に表される元）の個数を求めよ。ただし $\sigma$ 自身も数に含める。

$7$ 次交代群 $A_7$ の元 $\sigma =(123)(456)$ を考える。$\sigma$ の $A_7$ における中心化群
$$C_{A_7}(\sigma )=\{\tau \in A_7\mid \tau \sigma =\sigma \tau \}$$
の位数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$（集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ の置換全体のなす群）の部分群
$$V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$
を考える。ただし $e$ は恒等置換である。$V$ の $S_6$ における正規化群
$$N_{S_6}(V)=\{\tau \in S_6\mid \tau V{\tau }^{-1}=V\}$$
の位数を求めよ。

正十角形の頂点に、反時計回りに $1,2,\dots ,10$ と番号を付ける。この正十角形を自分自身に重ねる合同変換（回転と裏返し）全体は位数 $20$ の二面体群 $D_{10}$ をなす。各変換を頂点の番号の置換とみなすことで、$D_{10}$ を $10$ 次対称群 $S_{10}$ の部分群 $H$ とみなす。

$S_{10}$ の元 $\sigma$ のうち、$H$ のある元と $S_{10}$ の中で共役であるもの（すなわち $\sigma \in {\bigcup }_{g\in S_{10}}gH{g}^{-1}$ を満たすもの）の個数を求めよ。

$8$ 次対称群 $S_8$ の部分群である $8$ 次交代群 $A_8$ において、元
$$\sigma =(1234)(5678)\in A_8$$
を考える。$A_8$ における $\sigma$ の共役類
$$\{\tau \sigma {\tau }^{-1}\mid \tau \in A_8\}$$
の元の個数と、$\sigma$ が生成する巡回部分群 $⟨\sigma ⟩$ の $A_8$ における正規化群
$$N_{A_8}(⟨\sigma ⟩)=\{\tau \in A_8\mid \tau ⟨\sigma ⟩{\tau }^{-1}=⟨\sigma ⟩\}$$
の位数を、この順に組で求めよ。

$7$ 次対称群 $S_7$ において、位数がちょうど $6$ である元全体を考える。これらの元はちょうど $k$ 個の共役類に分かれる。また、これらの元の個数を $N$ とする。組 $(k,N)$ をこの順に求めよ。

$6$ 次交代群 $A_6$（$6$ 次対称群 $S_6$ の偶置換全体からなる部分群）を考える。$A_6$ の共役類（$A_6$ の元による共役で分類したもの）の個数を $k$、$A_6$ の共役類のうち元の個数が最大であるものの元の個数を $M$ とする。組 $(k,M)$ をこの順に求めよ。

$5$ 次対称群 $S_5$ を考える。$S_5$ の位数 $3$ の部分群の個数を $p$、位数 $4$ の巡回部分群の個数を $q$、位数 $5$ の部分群の個数を $r$ とする。組 $(p,q,r)$ をこの順に求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、群環 $V=\mathbb{C}[G]$ を、$g\in G$ が基底 $\{e_h\mid h\in G\}$ に $g\cdot e_h=e_{gh{g}^{-1}}$ と作用する $G$ の複素表現（共役表現）とみなす。$G$ 準同型 $V\to V$ 全体のなす $\mathbb{C}$ ベクトル空間 ${\mathrm{End}}_G(V)$ の次元を求めよ。

$10$ 次交代群 $A_{10}$（$10$ 次対称群 $S_{10}$ の偶置換全体がなす部分群）を考える。$A_{10}$ の共役類（$A_{10}$ の中での共役による同値類）の個数を求めよ。

有理数係数の対称関数環 ${\Lambda }_{\mathbb{Q}}$ を考える。${\Lambda }_{\mathbb{Q}}$ にはホール内積 $⟨,⟩$ が入っており、シューア関数 $\{s_{\lambda }\}$ はこの内積について正規直交基底をなすものとする。分割 $\rho$ に対し、$\rho$ に $i$ がちょうど $m_i$ 回現れるとき $z_{\rho }={\prod }_{i\ge 1}{i}^{m_i}{m}_i!$ とおき、べき和対称関数 $p_{\rho }$ どうしの内部積（クロネッカー積）$\ast$ を
$$p_{\rho }\ast p_{\sigma }={\delta }_{\rho \sigma }{z}_{\rho }{p}_{\rho }$$
で定め、各次数の斉次部分上で双線形に拡張する。

$6$ 次の対称関数 $s_{(4,2)}\ast s_{(4,2)}$ をシューア関数で
$$s_{(4,2)}\ast s_{(4,2)}=\sum _{\nu ⊢6}{g}_{\nu }{s}_{\nu }(g_{\nu }\in \mathbb{Q})$$
と展開する。係数の $2$ 乗和 $\sum _{\nu ⊢6}{g}_{\nu }^2$ を求めよ。

$G=S_7$ を $7$ 次対称群とし、$\sigma =(1234567)\in G$ が生成する位数 $7$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi (\sigma )=e^{2\pi i/7}$ で定め、誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$（$\dim W=720$）を考える。$G$ の各複素既約表現 $\rho$ に対し、$W$ を既約表現の直和に分解したときの $\rho$ の重複度を $m_{\rho }$ とする。$\rho$ が $G$ の複素既約表現の同型類全体を動くときの和
$$\sum _{\rho }{m}_{\rho }^2$$
を求めよ。

有理数係数の対称関数環 ${\Lambda }_{\mathbb{Q}}$ において、分割 $\lambda =(4,4,1)$ に対するシューア関数 $s_{\lambda }$ をべき和対称関数 $p_{\mu }=p_{{\mu }_1}{p}_{{\mu }_2}\cdots$（$p_k={\sum }_i{x}_i^k$）の一次結合として
$$s_{(4,4,1)}=\sum _{\mu ⊢9}{c}_{\mu }{p}_{\mu }(c_{\mu }\in \mathbb{Q})$$
と表す。$\mu =(3,3,3)$ に対する係数 $c_{(3,3,3)}$ を求めよ。