べき和のシューア展開とマーナハン・中山則

$p_{μ} = \sum_{λ} χ^{λ} (μ) s_{λ}$ の係数 $χ^{λ} (μ) = ⟨ p_{μ}, s_{λ} ⟩$ を、リボン（境界帯）を順に取り除き高さの符号 $(- 1)^{ht}$ を掛けて足すマーナハン・中山則で求められる（例: $p_{2}^{3}$ の $s_{(4, 2)}$ の係数）

前提

ホールの内積（大学院数学代数的組合せ論）
対称群の共役類（大学数学代数学）

この技能までの道筋（73 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）
分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）
半標準ヤング盤とコストカ数（大学院数学代数的組合せ論）
対称関数の基底と単項対称関数への展開（大学院数学代数的組合せ論）
シューア関数とコストカ数による展開（大学院数学代数的組合せ論）
ホールの内積（大学院数学代数的組合せ論）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
置換の巡回置換分解と位数（大学数学代数学）
対称群の共役類（大学数学代数学）

説明

べき和対称関数 $p_{μ} = p_{μ_{1}} p_{μ_{2}} \dots$ をシューア関数で展開したときの係数 $χ^{λ} (μ) = ⟨ p_{μ}, s_{λ} ⟩$ を求めます。この係数は、対称群 $S_{n}$ の既約指標の巡回型 $μ$ の共役類での値にあたることが知られています（フロベニウスの指標公式。この説明の計算では使いません）。マーナハン・中山則は、ヤング図形 $λ$ からリボン（境界帯）を大きさ $μ_{1}, μ_{2}, \dots$ のものとして順に取り除いていき、各リボンの高さに応じた符号 $\pm 1$ を掛けて、すべての取り除き方について足し合わせることで $χ^{λ} (μ)$ を計算します。

なぜそうしてよいのか

リボン. 2 つのヤング図形 $ν \subset λ$ について、差 $λ / ν$ が辺でつながっていて $2 \times 2$ の正方形を含まないとき、 $λ / ν$ をリボン（境界帯）といいます。リボンが $r$ 行にまたがるとき、高さを $ht (λ / ν) = r - 1$ と定めます。

中心となる定理（ここでは証明しない）. 正の整数 $r$ と分割 $ν$ について
$p_{r} s_{ν} = λ \sum (- 1)^{ht (λ / ν)} s_{λ}$
が成り立ちます。和は、 $ν \subset λ$ で $λ / ν$ が大きさ $r$ のリボンとなる $λ$ 全体でとります。これはシューア関数の既知の性質として引用します。証明にはシューア関数の行列式（交代式の商）による表示などが必要で、半標準ヤング盤とコストカ数だけを使うこのページの範囲を超えるので扱いません。ただし小さい場合は前提の技能で確かめられます。例えば $r = 2$ , $ν = \emptyset$ のとき、 $s_{(2)} = m_{(2)} + m_{(1, 1)}$ , $s_{(1, 1)} = m_{(1, 1)}$ より $p_{2} = m_{(2)} = s_{(2)} - s_{(1, 1)}$ です。定理の側では、空図形に付け加えられる大きさ 2 のリボンは横のドミノ $(2)$ （高さ 0、符号 $+ 1$ ）と縦のドミノ $(1, 1)$ （高さ 1、符号 $- 1$ ）なので、一致します。

繰り返して係数を出す. $p_{μ} = p_{μ_{1}} p_{μ_{2}} \dots p_{μ_{k}} \cdot s_{\emptyset}$ （ $s_{\emptyset} = 1$ ）なので、定理を $k$ 回使うと
$p_{μ} = \sum (- 1)^{ht (λ^{(1)} / λ^{(0)}) + \dots + ht (λ^{(k)} / λ^{(k - 1)})} s_{λ^{(k)}}$
となります。和は、 $\emptyset = λ^{(0)} \subset λ^{(1)} \subset \dots \subset λ^{(k)}$ で各 $λ^{(i)} / λ^{(i - 1)}$ が大きさ $μ_{i}$ のリボンとなる列すべてでとります。シューア関数は正規直交なので、 $χ^{λ} (μ) = ⟨ p_{μ}, s_{λ} ⟩$ はこの和のうち $λ^{(k)} = λ$ となる列についての符号の和です。列を $λ$ の側から逆にたどれば「 $λ$ からリボンを順に取り除いて空図形にする」ことになります。また $p_{μ_{i}}$ どうしの掛け算は順序を入れ替えてよいので、取り除くリボンの大きさの順番は自由に選べます（どの順番でも同じ値になります）。

検算の目安. ホールの内積で $⟨ p_{μ}, p_{μ} ⟩ = z_{μ}$ であり、 $p_{μ} = \sum_{λ} χ^{λ} (μ) s_{λ}$ なので $\sum_{λ} χ^{λ} (μ)^{2} = z_{μ}$ が成り立ちます。いくつかの $λ$ について計算したら、この等式で確かめられます。

手順

$∣ λ ∣ = ∣ μ ∣$ を確かめる（違えば係数は $0$ ）。取り除くリボンの大きさの順番を決める（大きい順にすると場合分けが少なくなることが多い）
現在の図形から、取り除いた残りがヤング図形になるような、指定の大きさのリボン（連結で $2 \times 2$ の正方形を含まない形）をすべて探す
各リボンの高さ $ht = (またがる行数) - 1$ から符号 $(- 1)^{ht}$ を記録する
残りの図形に対して同じことを繰り返し、空図形まで取り除き方を樹形図で書き出す
空図形に到達した各経路について符号の積をとり、すべての経路で足して $χ^{λ} (μ)$ とする（途中で取り除けなくなった経路は数えない）

例題

べき和対称関数 $p_{(2, 2, 2)} = p_{2}^{3}$ をシューア関数で展開したときの $s_{(3, 3)}$ の係数 $χ^{(3, 3)} ((2, 2, 2))$ を求めよ。

例題の解答

以下、図形の $i$ 行 $j$ 列の箱を $(i, j)$ と書く。

手順 1: $∣ (3, 3) ∣ = 6 = ∣ (2, 2, 2) ∣$ 。取り除くリボンはすべて大きさ 2（ドミノ）。

手順 2・3（1 個目）: $(3, 3)$ から取り除けて残りがヤング図形になるドミノは
- 縦のドミノ ${(1, 3), (2, 3)}$ : 残り $(2, 2)$ 、高さ 1、符号 $- 1$
- 横のドミノ ${(2, 2), (2, 3)}$ : 残り $(3, 1)$ 、高さ 0、符号 $+ 1$

手順 4（2 個目以降）:
- $(2, 2)$ からは、縦 ${(1, 2), (2, 2)}$ で残り $(1, 1)$ （符号 $- 1$ ）、横 ${(2, 1), (2, 2)}$ で残り $(2)$ （符号 $+ 1$ ）。 $(1, 1)$ は縦ドミノ 1 個（符号 $- 1$ ）、 $(2)$ は横ドミノ 1 個（符号 $+ 1$ ）で空になる。
- $(3, 1)$ からは、横 ${(1, 2), (1, 3)}$ で残り $(1, 1)$ （符号 $+ 1$ ）だけ（ $(2, 1)$ を含むドミノを取ると残りがヤング図形にならない）。 $(1, 1)$ は縦ドミノで空になる（符号 $- 1$ ）。

手順 5: 経路ごとの符号の積は
- $(3, 3) \to (2, 2) \to (1, 1) \to \emptyset$ : $(- 1) (- 1) (- 1) = - 1$
- $(3, 3) \to (2, 2) \to (2) \to \emptyset$ : $(- 1) (+ 1) (+ 1) = - 1$
- $(3, 3) \to (3, 1) \to (1, 1) \to \emptyset$ : $(+ 1) (+ 1) (- 1) = - 1$

よって $χ^{(3, 3)} ((2, 2, 2)) = - 1 - 1 - 1 = - 3$ 。

答え: $- 3$

よくある誤り

高さを「またがる列の数 $- 1$ 」で数えてしまう誤り。正しくは行の数 $- 1$ で、縦のドミノ ${(1, 3), (2, 3)}$ は高さ 1（符号 $- 1$ ）、横のドミノ ${(2, 2), (2, 3)}$ は高さ 0（符号 $+ 1$ ）。
取り除いた残りがヤング図形になるかを確かめずに数えてしまう誤り。例えば $(3, 1)$ から ${(1, 1), (2, 1)}$ を取ると残りは $(1, 1)$ の箱がない形になり、ヤング図形ではない。正しくは残りがヤング図形になるリボンだけを数え、 $(3, 1)$ から取れるドミノは ${(1, 2), (1, 3)}$ だけ。
$2 \times 2$ の正方形を含む連結な形もリボンとして取り除いてしまう誤り。例えば $(2, 2)$ 全体を大きさ 4 のリボンとして取り除き $χ^{(2, 2)} ((4)) = \pm 1$ とするのは誤りで、正しくは $(2, 2)$ から大きさ 4 のリボンは取れないので $χ^{(2, 2)} ((4)) = 0$ 。
途中で取り除き方が複数あるのに 1 通りだけたどって終えてしまう誤り。上の例で $(3, 3) \to (2, 2) \to (1, 1) \to \emptyset$ だけを数えると $- 1$ になるが、正しくはすべての経路を足して $- 3$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
可算無限個の変数 $x_{1}, x_{2}, \dots$ の有理数係数対称関数環において、 $p_{k} = \sum_{i \geq 1} x_{i}^{k}$ を $k$ 次のべき和対称関数、 $p_{μ} = p_{μ_{1}} p_{μ_{2}} \dots$ とし、 $s_{λ}$ を分割 $λ$ に対するシューア関数とする。
4 次の対称関数 $p_{(3, 1)} = p_{3} p_{1}$ をシューア関数の一次結合
$p_{(3, 1)} = λ ⊢ 4 \sum c_{λ} s_{λ}$
で表すとき、 $s_{(2, 2)}$ の係数 $c_{(2, 2)}$ を求めよ。

べき和のシューア展開とマーナハン・中山則

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題