シューア関数とコストカ数による展開

まず $s_{\lambda }$ が対称関数であることを確かめます。隣り合う変数 $x_i,x_{i+1}$ を入れ替えても変わらないことを示せば十分で、そのためには「$i$ と $i+1$ の個数を入れ替え、ほかの数の個数は変えない」形 $\lambda$ の半標準ヤング盤どうしの全単射があればよいです。これはベンダー・クヌースの対合で与えられます。盤のうち $i$ と $i+1$ が書かれた箱だけを見ると、同じ列に $i$ と $i+1$ が上下に並ぶ箱は「対になっている」とし、そのままにします。残りの（対になっていない）$i,i+1$ は、各行で連続した区間に $i$ が $a$ 個、続いて $i+1$ が $b$ 個並んでいます。これを各行で $i$ が $b$ 個、$i+1$ が $a$ 個に書き換えます。書き換えた後も行は広義増加・列は狭義増加のままで、もう一度同じ操作をすると元に戻るので全単射であり、$i$ と $i+1$ の個数が入れ替わります。こうして $s_{\lambda }$ は対称で、対称関数の $m_{\mu }$ の係数は単項式 $x_1^{{\mu }_1}{x}_2^{{\mu }_2}\cdots$ の係数なので、内容 $\mu$ の盤の個数 $K_{\lambda \mu }$ になります。内容 $\lambda$ の盤は「第 $i$ 行をすべて $i$ で埋める」1 通りなので $K_{\lambda \lambda }=1$。また $1,\dots ,k$ は列が狭義増加なので上から $k$ 行の中にしか置けず、${\mu }_1+\cdots +{\mu }_k\le {\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_k$ がすべての $k$ で成り立たないと $K_{\lambda \mu }=0$ です（この関係を $\lambda ⊵\mu$ と書き、支配順序とよびます）。支配順序で大きければ辞書式順序でも大きいので、$s_{\lambda }=m_{\lambda }+(\text{辞書式で }\lambda \text{ より小さい }\mu \text{ の }{m}_{\mu }\text{ の和})$ という三角形の形になります。

次に $h_{\mu }={\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{s}_{\lambda }$ ですが、このページではこれを前提の事実として使い、証明は省きます（RSK 対応とよばれる全単射から従う、この分野の基本定理です）。両辺の $m_{\nu }$ の係数を比べると、左辺は前提の技能のとおり行和 $\mu$・列和 $\nu$ の非負整数行列の個数、右辺は ${\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{K}_{\lambda \nu }$ で、この等式は小さい例で数えて確かめられます（例: $h_{(1,1)}=h_1^2$ の $m_{(1,1)}$ の係数は行和・列和がともに $(1,1)$ の行列 2 個で、$K_{(2),(1,1)}^2+K_{(1,1),(1,1)}^2=1+1=2$）。三角性により、$h_{\mu }$ のシューア展開に現れるのは $\lambda ⊵\mu$ の形だけで、$s_{\mu }$ の係数は $1$ です。

最後に、$m$ 展開から $s$ 展開を求める方法です。同じ次数の対称関数 $f={\sum }_{\lambda }{a}_{\lambda }{s}_{\lambda }$ のうち $a_{\lambda }\ne 0$ で辞書式最大の $\lambda$ をとると、三角性から $m_{\lambda }$ は $s_{\lambda }$ からしか出ず、それより辞書式で大きい $m$ はどこからも出ません。したがって「$f$ の $m$ 展開に現れる辞書式最大の $\lambda$ の係数」がそのまま $s_{\lambda }$ の係数です。$f$ からその分の $a_{\lambda }{s}_{\lambda }$ を引くと、次数は同じままで、現れる形がすべて辞書式で $\lambda$ より小さい対称関数になります。形は有限個しかないので、これを繰り返せば係数がすべて決まります。