代数的組合せ論の問題

方針. 積の結合法則により $F=(s_{(2,1)}{)}^2\cdot s_{(2,1)}$ と考える。まず $(s_{(2,1)}{)}^2$ をシューア展開し、次にリトルウッド・リチャードソン係数 $c_{\mu \nu }^{\lambda }$（$s_{\mu }{s}_{\nu }={\sum }_{\lambda }{c}_{\mu \nu }^{\lambda }{s}_{\lambda }$）を用いて $$c_{(4,3,2)}=\sum _{\mu }{a}_{\mu }{c}_{\mu ,(2,1)}^{(4,3,2)}\left(\right(s_{(2,1)}{)}^2=\sum _{\mu }{a}_{\mu }{s}_{\mu })$$ を計算する。

1. $(s_{(2,1)}{)}^2$ の展開. ヤコビ・トゥルーディの公式より $s_{(2,1)}=h_2{h}_1-h_3$ であるから $$s_{(2,1)}^2=s_{(2,1)}{h}_1{h}_2-s_{(2,1)}{h}_3.$$ ピエリの公式（$s_{\mu }{h}_k$ は $\mu$ に $k$ 個の箱からなる水平帯を付け加えたもの全体の和）を使う。
- $s_{(2,1)}{h}_1=s_{(3,1)}+s_{(2,2)}+s_{(2,1,1)}$。
- $s_{(3,1)}{h}_2=s_{(5,1)}+s_{(4,2)}+s_{(4,1,1)}+s_{(3,3)}+s_{(3,2,1)}$。
- $s_{(2,2)}{h}_2=s_{(4,2)}+s_{(3,2,1)}+s_{(2,2,2)}$。
- $s_{(2,1,1)}{h}_2=s_{(4,1,1)}+s_{(3,2,1)}+s_{(3,1,1,1)}+s_{(2,2,1,1)}$。
- $s_{(2,1)}{h}_3=s_{(5,1)}+s_{(4,2)}+s_{(4,1,1)}+s_{(3,2,1)}$。

よって $$s_{(2,1)}^2=s_{(4,2)}+s_{(4,1,1)}+s_{(3,3)}+2s_{(3,2,1)}+s_{(2,2,2)}+s_{(3,1,1,1)}+s_{(2,2,1,1)}.$$ （検算：$f^{\lambda }$ を標準タブローの個数とすると、両辺の $p_1^6$ の係数から $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 2\cdot 2=80$ と $9+10+5+2\cdot 16+5+10+9=80$ が一致する。）

2. 各項と $s_{(2,1)}$ の積における $s_{(4,3,2)}$ の係数. $c_{\mu ,(2,1)}^{(4,3,2)}\ne 0$ には $\mu \subset (4,3,2)$ が必要なので、長さ $4$ の $(3,1,1,1)$, $(2,2,1,1)$ は寄与しない。また $c_{\mu \nu }^{\lambda }$ は歪シューア関数 $s_{\lambda /\mu }$ における $s_{\nu }$ の係数に等しい。箱の位置を（行, 列）で表す。
- $\mu =(4,2)$：$(4,3,2)/(4,2)$ は箱 $(2,3)$ と横 $2$ 個 $(3,1),(3,2)$ で、互いに離れている。$s_{\lambda /\mu }=s_1{s}_2=s_{(3)}+s_{(2,1)}$ より係数 $1$。
- $\mu =(4,1,1)$：$(2,2),(2,3),(3,2)$ は形 $(2,1)$ を平行移動したもの。$s_{\lambda /\mu }=s_{(2,1)}$ より係数 $1$。
- $\mu =(3,3)$：箱 $(1,4)$ と横 $2$ 個 $(3,1),(3,2)$ で離れている。$s_1{s}_2$ より係数 $1$。
- $\mu =(3,2,1)$：$(1,4),(2,3),(3,2)$ の互いに離れた $3$ 個の箱。$s_1^3=s_{(3)}+2s_{(2,1)}+s_{(1,1,1)}$ より係数 $2$。
- $\mu =(2,2,2)$：$(1,3),(1,4),(2,3)$ は形 $(2,1)$ そのもの。係数 $1$。

3. 合計. $s_{(3,2,1)}$ の係数 $a_{(3,2,1)}=2$ に注意して $$c_{(4,3,2)}=1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1=8.$$

よって答えは $8$ である。

$c_{(4,3,2)}$ は、$s_{21}^2$ を展開してから $s_{21}$ をもう一度掛け、$s_{432}$ の係数を拾って求める。

1. リトルウッド–リチャードソン則より
$s_{21}^2=s_{42}+s_{411}+s_{33}+2s_{321}+s_{3111}+s_{222}+s_{2211}$。
次元で検算する。$f^{21}=2$ より左辺は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 2\cdot 2=80$。右辺は $9+10+5+2\cdot 16+10+5+9=80$ で一致する。

2. $c_{(4,3,2)}={\sum }_{\mu }(s_{21}^2\text{ における }{s}_{\mu }\text{ の係数})\cdot c_{\mu ,21}^{432}$。ここで $c_{\mu ,21}^{432}$ は斜形 $(4,3,2)/\mu$ における $s_{21}$ の係数である。$\mu \subset (4,3,2)$ となるのは $\mu =42,411,33,321,222$ の 5 つで、$3111$ と $2211$ は 4 行なので入らない。

3. 各 $\mu$ について斜形と係数を調べる。
- $\mu =42$: 斜形は 1 個の箱と横 2 個の箱に分かれる。$s_1{s}_2=s_3+s_{21}$ なので係数は 1。
- $\mu =411$: 斜形は $(2,1)$ の形そのままなので係数は 1。
- $\mu =33$: 斜形は 1 個の箱と横 2 個の箱に分かれる。$s_1{s}_2$ の場合と同じで係数は 1。
- $\mu =321$: 斜形は互いに離れた 3 個の箱。$s_1^3=s_3+2s_{21}+s_{111}$ なので係数は 2。
- $\mu =222$: 斜形は $(2,1)$ の形そのままなので係数は 1。

4. 合計は $1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1=8$。