対称関数の基底と単項対称関数への展開

単項 $m_{μ}$ ・基本 $e_{λ}$ ・完全 $h_{λ}$ ・べき和 $p_{λ}$ 対称関数を定義どおりに扱い、 $e_{λ}$ や $h_{λ}$ の $m_{μ}$ の係数を、行和・列和を指定した 0-1 行列（非負整数行列）の個数として求められる（例: $e_{2}^{3}$ の $m_{(2, 2, 1, 1)}$ の係数）

前提

分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）

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算数中学高校大学大学院

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母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）
分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）

説明

変数 $x_{1}, x_{2}, \dots$ の対称関数（変数をどう入れ替えても変わらない、次数の有界なべき級数）には、分割 $λ$ で番号づけられた代表的な基底として単項 $m_{λ}$ ・基本 $e_{λ}$ ・完全 $h_{λ}$ ・べき和 $p_{λ}$ があります。どの対称関数も $m_{μ}$ の一次結合でただ 1 通りに書けるので、 $e_{λ}$ や $h_{λ}$ を $m_{μ}$ で展開することが基本の計算になります。この技能では、その係数を「行和が $λ$ 、列和が $μ$ の 0-1 行列（ $h$ なら非負整数行列）の個数」として数えます。

なぜそうしてよいのか

まず定義です。分割 $μ = (μ_{1}, \dots, μ_{ℓ})$ に対し、単項対称関数 $m_{μ}$ は、 $x_{i_{1}}^{μ_{1}} \dots x_{i_{ℓ}}^{μ_{ℓ}}$ （ $i_{1}, \dots, i_{ℓ}$ は相異なる添字）の形の異なる単項式すべての和です（例: $m_{(2, 1)} = x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{1} + x_{1}^{2} x_{3} + \dots$ 、各単項式は係数 $1$ で 1 回ずつ現れる）。基本対称関数は $e_{r} = \sum_{i_{1} < \dots < i_{r}} x_{i_{1}} \dots x_{i_{r}}$ （相異なる $r$ 個の変数の積の和）、完全対称関数は $h_{r} = \sum_{i_{1} \leq \dots \leq i_{r}} x_{i_{1}} \dots x_{i_{r}}$ （重複を許した $r$ 次単項式すべての和）、べき和は $p_{r} = \sum_{i} x_{i}^{r}$ で、分割 $λ$ に対しては $e_{λ} = e_{λ_{1}} e_{λ_{2}} \dots$ 、 $h_{λ} = h_{λ_{1}} h_{λ_{2}} \dots$ 、 $p_{λ} = p_{λ_{1}} p_{λ_{2}} \dots$ と積で定めます。

対称関数 $f$ を $\sum_{μ} c_{μ} m_{μ}$ と書いたとき、 $m_{μ}$ はそれぞれ単項式 $x_{1}^{μ_{1}} x_{2}^{μ_{2}} \dots x_{ℓ}^{μ_{ℓ}}$ をちょうど 1 回含み、ほかの $m_{ν}$ （ $ν \neq = μ$ ）は含みません。したがって $c_{μ}$ は「 $f$ を展開したときの $x_{1}^{μ_{1}} \dots x_{ℓ}^{μ_{ℓ}}$ の係数」に等しくなります。

そこで $e_{λ} = e_{λ_{1}} \dots e_{λ_{k}}$ を展開します。展開の各項は、 $i$ 番目の因子 $e_{λ_{i}}$ から相異なる $λ_{i}$ 個の変数を選ぶことで得られます。この選び方を、 $(i, j)$ 成分が「因子 $i$ で $x_{j}$ を選んだら $1$ 、選ばなければ $0$ 」の 0-1 行列で記録すると、第 $i$ 行の和は $λ_{i}$ 、第 $j$ 列の和はその項における $x_{j}$ の指数です。よって $x^{μ}$ の係数は「行和 $λ$ ・列和 $μ$ の 0-1 行列の個数」です。 $h_{λ}$ では同じ変数を何回選んでもよいので、成分を「因子 $i$ で $x_{j}$ を選んだ回数」とする非負整数行列になり、係数は「行和 $λ$ ・列和 $μ$ の非負整数行列の個数」になります。

手順

求める係数を「展開したときの単項式 $x_{1}^{μ_{1}} x_{2}^{μ_{2}} \dots x_{ℓ}^{μ_{ℓ}}$ の係数」と言い換える
行が因子 $e_{λ_{1}}, e_{λ_{2}}, \dots$ （または $h_{λ_{i}}$ ）に、列が変数 $x_{1}, \dots, x_{ℓ}$ に対応する行列を考え、行和を $(λ_{1}, λ_{2}, \dots)$ 、列和を $(μ_{1}, \dots, μ_{ℓ})$ と定める
$e_{λ}$ なら成分が $0$ か $1$ 、 $h_{λ}$ なら成分が非負整数という条件をつける
列和の大きい列や、行和の小さい行の成分から順に場合分けして、条件を満たす行列を数え上げる。その個数が $m_{μ}$ の係数

例題

基本対称関数 $e_{(2, 2, 1)} = e_{2} e_{2} e_{1}$ を単項対称関数で展開したときの $m_{(2, 2, 1)}$ の係数を求めよ。

例題の解答

【手順 1】求める係数は、 $e_{2} e_{2} e_{1}$ を展開したときの単項式 $x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}$ の係数である。

【手順 2・3】行和 $(2, 2, 1)$ 、列和 $(2, 2, 1)$ の $3 \times 3$ の 0-1 行列（第 1・2 行が 2 つの $e_{2}$ 、第 3 行が $e_{1}$ 、第 $j$ 列が $x_{j}$ ）の個数を数える。

【手順 4】行和が $1$ の第 3 行で、 $1$ が入る列 $j$ で場合分けする。残りの第 1・2 行は、どちらも行和 $2$ で、列和が $(2, 2, 1)$ から第 $j$ 成分を $1$ 減らしたものになる。
- $j = 3$ : 残りの列和は $(2, 2, 0)$ 。第 1・2 行はどちらも $(1, 1, 0)$ しかなく $1$ 通り。
- $j = 1$ : 残りの列和は $(1, 2, 1)$ 。列和 $2$ の第 2 列は両方の行が $1$ 。各行の残り 1 つの $1$ を第 1 列・第 3 列に 1 つずつ割り振るので $2$ 通り。
- $j = 2$ : 同様に残りの列和 $(2, 1, 1)$ で $2$ 通り。

よって行列は $1 + 2 + 2 = 5$ 個あり、係数は $5$ 。

（確認: $e_{1}$ から $x_{3}$ を選ぶと $e_{2} e_{2}$ から $x_{1}^{2} x_{2}^{2}$ を作る $(x_{1} x_{2}) (x_{1} x_{2})$ の $1$ 通り、 $x_{1}$ を選ぶと $x_{1} x_{2}^{2} x_{3}$ を作る $(x_{1} x_{2}) (x_{2} x_{3})$ , $(x_{2} x_{3}) (x_{1} x_{2})$ の $2$ 通り、 $x_{2}$ を選んでも $2$ 通りで、合計 $5$ 。）

答え: $5$

よくある誤り

$m_{μ}$ の係数を、 $m_{μ}$ に含まれる単項式全体の係数の合計と取り違える誤り。 $m_{μ}$ の各単項式は係数 $1$ なので、係数は代表の単項式 $x_{1}^{μ_{1}} \dots x_{ℓ}^{μ_{ℓ}}$ 1 つの係数を見ればよい（例: $e_{1}^{2} = m_{(2)} + 2 m_{(1, 1)}$ で、 $m_{(1, 1)}$ の係数は $x_{1} x_{2}$ の係数 $2$ ）
同じ $e_{r}$ が複数あるとき、因子の順序を区別せずに数えてしまう誤り。展開は因子ごとの選び方の積なので、行列の行は区別する（例: $e_{2}^{2}$ の $m_{(2, 1, 1)}$ の係数は、 $(x_{1} x_{2}) (x_{1} x_{3})$ と $(x_{1} x_{3}) (x_{1} x_{2})$ を別に数えて $2$ であり、 $1$ ではない）
$h_{λ}$ の係数を 0-1 行列で数えてしまう誤り。 $h_{r}$ は同じ変数の重複を許すので非負整数行列で数える（例: $h_{2}^{2}$ の $m_{(2, 1, 1)}$ の係数は、第 1 行が $(2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)$ の $4$ 通りで $4$ 。0-1 行列なら $2$ になってしまう）
$m_{μ}$ を、 $x^{μ}$ のすべての並べ替え（同じ単項式を重複して数えたもの）の和と考えてしまう誤り。 $m_{μ}$ は異なる単項式を 1 回ずつ足したもの（例: $m_{(1, 1)} = \sum_{i < j} x_{i} x_{j}$ であり、 $\sum_{i \neq = j} x_{i} x_{j} = 2 m_{(1, 1)}$ ではない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
可算無限個の変数 $x_{1}, x_{2}, \dots$ の有理数係数対称関数環を考える。正の整数 $r$ に対し $h_{r} = \sum_{i_{1} \leq i_{2} \leq \dots \leq i_{r}} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{r}}$ を $r$ 次の完全対称関数とし、分割 $μ$ に対する単項対称関数を $m_{μ}$ とする。
$5$ 次の対称関数 $h_{3} h_{2}$ を単項対称関数の一次結合
$h_{3} h_{2} = μ \sum c_{μ} m_{μ} (μ は 5 の分割)$
で表したとき、 $m_{(2, 2, 1)}$ の係数 $c_{(2, 2, 1)}$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
可算無限個の変数 $x_{1}, x_{2}, \dots$ の有理数係数対称関数環において、 $e_{2} = \sum_{i < j} x_{i} x_{j}$ を $2$ 次の基本対称関数、分割 $μ$ に対する単項対称関数を $m_{μ}$ とする。 $6$ 次の対称関数 $e_{2}^{3}$ を単項対称関数で
$e_{2}^{3} = μ ⊢ 6 \sum a_{μ} m_{μ}$
と展開するとき、係数 $a_{(2, 2, 1, 1)}$ を求めよ。

この技能の次に学べること

シューア関数とコストカ数による展開（大学院数学代数的組合せ論）