代数的組合せ論の問題

方針. $h_{\lambda }=h_{{\lambda }_1}{h}_{{\lambda }_2}\cdots$ の $m_{\mu }$ の係数は、行和が $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$、列和が $\mu =({\mu }_1,{\mu }_2,\dots )$ である非負整数行列の個数に等しい。

実際、$m_{\mu }$ の係数は単項式 $x_1^{{\mu }_1}{x}_2^{{\mu }_2}\cdots$ の係数に等しい。$h_{{\lambda }_i}$ から単項式 $x_1^{a_{i1}}{x}_2^{a_{i2}}\cdots$（$a_{i1}+a_{i2}+\cdots ={\lambda }_i$）を 1 つずつ選んで掛けると、$x_j$ の指数は ${\sum }_i{a}_{ij}$ になる。これが ${\mu }_j$ に等しくなる選び方が、行和 $\lambda$・列和 $\mu$ の非負整数行列 $(a_{ij})$ と一対一に対応する。

計算. $\lambda =(3,2)$、$\mu =(2,2,1)$ なので、行和 $(3,2)$、列和 $(2,2,1)$ の $2\times 3$ 非負整数行列を数える。第 1 行を $(a,b,c)$ とすると第 2 行は $(2-a,2-b,1-c)$ で決まり、条件は
$$a+b+c=3,0\le a\le 2,0\le b\le 2,0\le c\le 1$$
である（第 2 行の和は $5-3=2$ に自動的になる）。
- $c=0$ のとき $a+b=3$ より $(a,b)=(2,1),(1,2)$ の $2$ 通り。
- $c=1$ のとき $a+b=2$ より $(a,b)=(2,0),(1,1),(0,2)$ の $3$ 通り。

合計 $2+3=5$ 通り。

確認. $x_1^2{x}_2^2{x}_3$ の係数を直接数えると、$h_2$ から選ぶ単項式が $x_1^2,x_2^2,x_1{x}_2,x_1{x}_3,x_2{x}_3$ の $5$ 通りで、それぞれ残り（$x_2^2{x}_3,x_1^2{x}_3,x_1{x}_2{x}_3,x_1{x}_2^2,x_1^2{x}_2$）が $h_3$ の項としてちょうど 1 回ずつ現れる。よって $c_{(2,2,1)}=5$。

$h_r$ は次数 $r$ の単項式をすべて係数 1 で含むので、$h_3{h}_2$ における $x_1^2{x}_2^2{x}_3$ の係数は、$x_1^2{x}_2^2{x}_3=(\text{次数 }3\text{ の単項式})\times (\text{次数 }2\text{ の単項式})$ と書く方法の数に等しい。次数 2 の単項式の指数ベクトル $a=(a_1,a_2,a_3)$ は $|a|=2$ かつ $a\le (2,2,1)$ を満たす必要があり（残りが次数 3 の単項式になる）、$(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ の 5 通り。$(0,0,2)$ は $x_3$ の指数が 1 を超えるので不可。よって $c_{(2,2,1)}=5$。検算: $h_3{h}_2={\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda ,(3,2)}{s}_{\lambda }$ で $m_{221}$ の係数は ${\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda ,(3,2)}{K}_{\lambda ,(2,2,1)}$。$\lambda =(5)$: $1\cdot 1$、$(4,1)$: $1\cdot 2$、$(3,2)$: $1\cdot 2$、合計 $1+2+2=5$。一致する。