代数的組合せ論の問題

使う事実. $p_{\mu }={\sum }_{\lambda }{\chi }^{\lambda }(\mu )s_{\lambda }$ で、$c_{\lambda }={\chi }^{\lambda }(\mu )=⟨p_{\mu },s_{\lambda }⟩$ である。マーナハン・中山則により、${\chi }^{\lambda }(\mu )$ は、ヤング図形 $\lambda$ から長さ ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots$ のリボン（境界帯：連結で $2\times 2$ の正方形を含まない縁の箱の集まり）を順に取り除いて空にする方法すべてについて、$(-1{)}^{\mathrm{ht}}$（$\mathrm{ht}$ はリボンが占める行数 $-1$）の積を足したものである。取り除く部分の順序は任意に選んでよい。

長さ 3 のリボンを取り除く. $\lambda =(2,2)$ の箱を (行, 列) で表すと $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ である。取り除いた後もヤング図形になる長さ 3 のリボンは、$(1,2),(2,2),(2,1)$ の 1 つだけである（$(1,1)$ を含むと残りがヤング図形にならない）。これは 2 行にまたがるので $\mathrm{ht}=1$、符号は $(-1{)}^1=-1$。残りは $(1)$。

長さ 1 のリボンを取り除く. $(1)$ から 1 箱を取り除く方法は 1 通りで、$\mathrm{ht}=0$、符号 $+1$。空になる。

足し合わせる. 取り除き方は全体で 1 通りなので
$$c_{(2,2)}={\chi }^{(2,2)}((3,1))=(-1)\cdot (+1)=-1.$$

検算（順序を変える）. 先に長さ 1 を取り除くと、$(2,2)$ から取れる角は $(2,2)$ だけで $(2,1)$ が残る（符号 $+1$）。$(2,1)$ 全体は 2 行にまたがる長さ 3 のリボンなので符号 $-1$。積は $-1$ で一致する。

$p_{\mu }={\sum }_{\lambda }{\chi }^{\lambda }(\mu )s_{\lambda }$ なので、$c_{(2,2)}={\chi }^{(2,2)}(3,1)$。ムルナガン・中山の規則で計算する。\n\n$(2,2)$ から大きさ 3 のリムフックを除き、残りが大きさ 1 の図形 $(1)$ になるものを探す。除くセルは $(1,2),(2,2),(2,1)$ で、これは連結なリムフックであり 2 行にまたがるので高さ 1、符号 $(-1{)}^1=-1$。残りの $(1)$ から長さ 1 のフックを除く方法は 1 通りで符号 $+1$。ゆえに ${\chi }^{(2,2)}(3,1)=-1$。\n\n検算: 同様に ${\chi }^{(4)}=1$、${\chi }^{(3,1)}=0$、${\chi }^{(2,1,1)}=0$、${\chi }^{(1^4)}=1$ で、$p_3{p}_1=s_4-s_{22}+s_{1111}$。指標の直交性より ${\sum }_{\lambda }{\chi }^{\lambda }(3,1{)}^2=1+0+1+0+1=3=z_{(3,1)}=3\cdot 1$ で一致する。