代数的組合せ論の問題

係数の意味　フロベニウスの指標公式 $p_{\mu }={\sum }_{\lambda }{\chi }^{\lambda }(\mu )s_{\lambda }$ により、$c_{\lambda }={\chi }^{\lambda }((2,2,2))$、すなわち $S_6$ の既約指標 ${\chi }^{(4,2)}$ の、巡回型 $(2,2,2)$ の元での値である。

マーナハン・中山の規則　${\chi }^{\lambda }(\mu )$ は、$\lambda$ から長さ ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots$ のリボン（境界帯）を順に取り除いて空にする方法すべてについて $(-1{)}^{\text{高さの和}}$ を足したものである（高さ = リボンの占める行数 $-1$）。

$\lambda =(4,2)$ から長さ $2$ のリボンを取り除く方法は、フック長が $2$ の箱 $(1,3)$ と $(2,1)$ に対応する $2$ 通り:
- 第 1 行の $(1,3),(1,4)$ を取る（高さ $0$）と $(2,2)$ が残る。
- 第 2 行の $(2,1),(2,2)$ を取る（高さ $0$）と $(4)$ が残る。

次に ${\chi }^{(2,2)}((2,2))$：$(2,2)$ から長さ $2$ のリボンは
- $(1,2),(2,2)$（縦、高さ $1$）を取ると $(1,1)$ が残り、${\chi }^{(1,1)}((2))=-1$。寄与は $(-1{)}^1\cdot (-1)=1$。
- $(2,1),(2,2)$（横、高さ $0$）を取ると $(2)$ が残り、${\chi }^{(2)}((2))=1$。寄与は $1$。

よって ${\chi }^{(2,2)}((2,2))=2$。また ${\chi }^{(4)}((2,2))=1$（自明指標）。

したがって
$$c_{(4,2)}={\chi }^{(4,2)}((2,2,2))=(+1)\cdot 2+(+1)\cdot 1=3.$$

検算　$S_6$ が $6$ 点の $2$ 元部分集合に作用する置換指標は $1+{\chi }^{(5,1)}+{\chi }^{(4,2)}$。$(12)(34)(56)$ が固定する $2$ 元部分集合は $\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}$ の $3$ 個。${\chi }^{(5,1)}$ は点への置換指標から $1$ を引いたものなので、固定点が $0$ 個のこの元で $-1$。よって ${\chi }^{(4,2)}=3-1-(-1)=3$ となり一致する。

べき和対称関数のシューア関数展開は $p_{\mu }={\sum }_{\lambda ⊢n}{\chi }^{\lambda }(\mu )s_{\lambda }$ で与えられる。したがって $p_2^3=p_{(2,2,2)}$ の $s_{(4,2)}$ の係数は指標値 $c_{(4,2)}={\chi }^{(4,2)}(2,2,2)$ である。

Murnaghan–Nakayama の規則で計算する。$(4,2)$ から長さ 2 のリムフック（ドミノ）を取り除く方法は、1 行目の右端 2 マスを除いて $(2,2)$（水平、符号 $+$）、2 行目の 2 マスを除いて $(4)$（水平、符号 $+$）の 2 通りのみ。よって
$${\chi }^{(4,2)}(2^3)={\chi }^{(2,2)}(2^2)+{\chi }^{(4)}(2^2).$$
${\chi }^{(4)}(2^2)=1$。
$(2,2)$ から長さ 2 のドミノを取ると、2 行目の水平ドミノで $(2)$（符号 $+$）、2 列目の垂直ドミノで $(1,1)$（高さ 1 なので符号 $-$）。${\chi }^{(2)}(2)=1$, ${\chi }^{(1,1)}(2)=-1$ より ${\chi }^{(2,2)}(2^2)=1+(-1)(-1)=2$。

ゆえに $c_{(4,2)}=2+1=3$。

検算: $S_6$ の指標表で ${\chi }^{(4,2)}$ の巡回型 $(2,2,2)$ での値は 3 であることが知られている。また次元 ${\chi }^{(4,2)}(1^6)=9$ とも整合する（${\chi }^{(4,2)}={\chi }^{M^{(4,2)}}-{\chi }^{M^{(5,1)}}$ で、$M^{(4,2)}$ は 6 点から 2 点を選ぶ作用の置換指標、$(2,2,2)$ の固定点数は 3、$M^{(5,1)}$ は固定点数 0 なので $3-0=3$）。