分割数と分割の母関数

正の整数 $n$ を、順序を考えずに正の整数の和として表したものを $n$ の分割という（例えば $4$ の分割は $4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1$ の $5$ 個）。$8$ の分割のうち、どの部分も $3$ 以下であるものの個数を求めよ。ただし、母関数
$$\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}$$
の $x^8$ の係数として求めること。

正の整数 $n$ を、順序を考えずに正の整数の和として表す方法を $n$ の分割といい、その個数を $p(n)$ で表す。たとえば $4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1$ より $p(4)=5$ である（$4$ そのものも 1 つの分割として数える）。$p(n)$ は母関数
$$\prod _{k=1}^{\infty }\frac{1}{1-x^k}=\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^n$$
の $x^n$ の係数でもある。$p(7)$ を求めよ。

正の整数 $n$ を、順序を考えずに 1 個以上の正の整数の和として表したものを $n$ の分割といい、分割の個数を $p(n)$ で表す。たとえば $4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1$ より $p(4)=5$ である。分割数の母関数は
$$\sum _{n\ge 0}p(n)x^n=\prod _{k\ge 1}\frac{1}{1-x^k}(p(0)=1)$$
で与えられる。$p(7)$ を求めよ。

$q$ を不定元とし、正の整数 $m$ に対して $[m{]}_q!={\prod }_{i=1}^m(1-q^i)/(1-q)$、$[0{]}_q!=1$ と定める。$0\le k\le n$ に対し、ガウスの二項係数（$q$-二項係数）を
$${\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}=\frac{(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q^{n-k+1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots (1-q)}$$
で定める。これは $q$ の整数係数多項式である。
$${\left[\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right]}_q=\sum _{j\ge 0}{a}_j{q}^j$$
と展開したとき、係数 $a_{12}$ を求めよ。

$S_{10}$ を $10$ 次対称群とし、$\mathrm{sgn}:S_{10}\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ をその符号表現とする。$S_{10}$ の有限次元複素既約表現 $V$ の同型類のうち、$V\otimes \mathrm{sgn}\cong V$ をみたすものすべてについて、それらの次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}V$ の和を求めよ。

正の整数 $n$ の分割とは、正の整数の非増加列 $\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }>0)$ で ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_{\ell }=n$ を満たすものをいう。分割 $\lambda$ に現れる相異なる値の個数（例えば $\lambda =(3,3,2,1,1)$ なら $\{3,2,1\}$ の $3$ 個）を $d(\lambda )$ とする。

$10$ のすべての分割 $\lambda$ にわたる和 $\sum _{\lambda ⊢10}d(\lambda )$ を求めよ。

$99$ を、相異なる $3$ つの正の奇数の和として表す方法は何通りあるか。ただし、和の順序だけが異なるもの（たとえば $1+3+95$ と $95+3+1$）は同じ表し方とみなす。

正の整数 $n$ の分割とは、和が $n$ になる正の整数の非増加列のことであり、各項を部分という。分割の中に正の整数 $k$ が部分として現れる回数を $k$ の重複度という（現れなければ重複度は $0$）。また $0$ の分割は空列ただ 1 つとする。正の整数 $n$ に対し

• $A(n)$: $n$ の分割のうち、どの正の整数 $k$ についても $k$ の重複度が $3$ を法として $1$ に合同でないもの（すなわち各重複度が $0,2,3,5,6,8,9,\dots$ のいずれかであるもの）の個数
• $B(n)$: 非負整数 $a,b$ と、$a$ の分割 $\mu$、$b$ の分割 $\nu$ の組 $(\mu ,\nu )$ であって、$a+b=n$、$\mu$ のどの部分も $4$ を法として $2$ に合同、$\nu$ のどの部分も $3$ の倍数であるものの個数

とする。すべての正の整数 $n$ に対して $A(n)=B(n)$ が成り立つことを、母関数を用いて証明せよ。

ただし、母関数は有理数係数の形式的冪級数環 $\mathbb{Q}[[x]]$ で考え、次の事実は用いてよい: 形式的冪級数の列 $a_1,a_2,\dots$ で $a_k$ の位数（$0$ でない最低次の次数）が $k\to \infty$ で $\infty$ に発散するものについて、無限積 ${\prod }_{k\ge 1}(1+a_k)$ は収束し、その $x^N$ までの係数は有限個の因子の積で決まること、また収束する無限積どうしの積・商（定数項が $1$ のもの）は因子ごとにとってよく、因子の並べ替えや分け方を変えても値は変わらないこと。

$0$ 以上の整数の分割 $\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }>0)$ を考える（$0$ の分割として空の分割 $\lambda =\varnothing$ も含め、$|\lambda |={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_{\ell }$ とする）。部分の個数 $\ell$ が $6$ 以下で、最大の部分 ${\lambda }_1$ が $8$ 以下であるような分割 $\lambda$（すなわちヤング図形が $6\times 8$ の長方形に収まる分割）全体を $\mathcal{B}$ とする。$\mathcal{B}$ に属する分割 $\lambda$ のうち、$|\lambda |$ が $4$ の倍数であるものの個数を求めよ。

正の整数 $n$ の分割 $\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }>0)$ が、その共役分割 ${\lambda }^{\prime }$ と一致するとき、$\lambda$ を自己共役であるという。また $\lambda$ のダーフィー正方形の大きさ $d(\lambda )$ を、${\lambda }_i\ge i$ をみたす最大の $i$ と定める。

$30$ の自己共役な分割全体を $\mathcal{S}$ とするとき、
$$\sum _{\lambda \in \mathcal{S}}d(\lambda )$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ の分割 $\lambda$ に対し、$\lambda$ に現れる相異なる部分（パート）の値の個数を $d(\lambda )$ とする。たとえば $\lambda =(3,3,2,1,1)$ なら現れる値は $3,2,1$ なので $d(\lambda )=3$ である。

$10$ のすべての分割 $\lambda$ にわたる和
$$\sum _{\lambda ⊢10}d(\lambda {)}^2$$
を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、相異なる部分からなる分割（空の分割も含め、$0$ の分割は空の分割 $1$ つとする）を考える。分割 $\lambda$ の部分の個数を $\ell (\lambda )$、部分の和を $|\lambda |$ と書く。相異なる部分からなる分割の順序つきの 3 つ組 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ で $|\alpha |+|\beta |+|\gamma |=n$ をみたすもの全体にわたる和
$$c_n=\sum _{(\alpha ,\beta ,\gamma )}(-1{)}^{\ell (\alpha )+\ell (\beta )+\ell (\gamma )}$$
を定める。このとき
$$\sum _{n=0}^{1000}{c}_n$$
の値を求めよ。