代数的組合せ論の問題

求める個数を、$a>b>c\ge 1$ を満たす奇数の組 $(a,b,c)$ で $a+b+c=99$ となるものの個数として数える。

母関数に直す. $a=2x+1,b=2y+1,c=2z+1$（$x>y>z\ge 0$ は整数）とおくと $a+b+c=2(x+y+z)+3$ である。さらに $x=z+u+v+2,y=z+u+1$（$u,v\ge 0$）とおくと、$(x,y,z)$ と $(z,u,v)\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^3$ は 1 対 1 に対応し、
$$x+y+z=3z+2u+v+3$$
となる。したがって、相異なる 3 つの正の奇数の和の母関数は
$$\sum _{x>y>z\ge 0}{q}^{2(x+y+z)+3}=\sum _{z,u,v\ge 0}{q}^{6z+4u+2v+9}=\frac{q^9}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}$$
である。求める個数はこの $q^{99}$ の係数、すなわち $\frac{1}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}$ の $q^{90}$ の係数であり、$t=q^2$ とおけば
$$\frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}$$
の $t^{45}$ の係数に等しい。これは $45$ を $1,2,3$ を部分とする分割の個数（共役をとれば $45$ の高々 $3$ 個の部分への分割の個数）である。

係数を計算する. $1,2,3$ の部分の個数をそれぞれ $v,u,z$ とすると $v+2u+3z=45$。$z$ を固定すると $2u\le 45-3z$ を満たす $u$ が $\lfloor \frac{45-3z}{2}\rfloor +1$ 個あり、$v$ は一意に決まる。$z=0,1,\dots ,15$ について $45-3z=45,42,39,\dots ,3,0$ だから
$$\sum _{z=0}^{15}\left(\lfloor \frac{45-3z}{2}\rfloor +1\right)=23+22+20+19+17+16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1.$$
2 項ずつまとめると $45+39+33+27+21+15+9+3=192$。

（検算: $\frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}$ の $t^m$ の係数は $(m+3{)}^2/12$ に最も近い整数であることが部分分数分解から分かり、$m=45$ では $48^2/12=192$ で一致する。）

よって答えは $192$ 通り。

相異なる正の奇数を小さい順に $a<b<c$ とし、$a=2x+1,b=2y+1,c=2z+1$（$0\le x<y<z$ の整数）とおく。$a+b+c=99$ より $2(x+y+z)+3=99$、すなわち $x+y+z=48$。
$x+y+z=48$ をみたす 0 以上の整数の順序つき組は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{2}\right)=1225$ 個。
2 つ以上が等しい組を数える。$x=y$ のとき $z=48-2x\ge 0$ より $x=0,\dots ,24$ の 25 個。$y=z$, $x=z$ のときも各 25 個。3 つとも等しい組は $(16,16,16)$ の 1 個で、3 つの集合すべてに含まれるから、包除原理で $3\cdot 25-3\cdot 1+1=73$ 個。
よって 3 つとも相異なる順序つき組は $1225-73=1152$ 個。順序を区別しないので $6$ で割って $1152/6=192$。
検算: 小さい例として $x+y+z=3$ なら、順序つき $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$、等しいものを含む組は $3\cdot 2-3+0=3$（$(0,0,3)$ 型 3 個、$(1,1,1)$ は $2x+z=3$ に $x=1,z=1$ で含まれ 1 個）なので実際には $(0,0,3)$ 型 3 個と $(1,1,1)$ の 1 個で計 4 個、異なる組は $6$ 個で $1$ 通り $\{0,1,2\}$ となり、直接の数え上げと整合する。答えは 192。