代数的組合せ論の問題

部分空間の束での包除（メビウス反転）. $V={\mathbb{F}}_q^3$ とし、$g\in G{L}_3({\mathbb{F}}_q)$ の固定部分空間を $\mathrm{Fix}(g)=\ker (g-I)$ とする。部分空間 $W\subseteq V$ に対し
$$a(W)=\#\{g:\mathrm{Fix}(g)=W\},b(W)=\#\{g:W\subseteq \mathrm{Fix}(g)\}=\sum _{U\supseteq W}a(U)$$
とおく。求める数は $a(0)$ で、部分空間の束のメビウス関数 $\mu (0,W)=(-1{)}^k{q}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)}$（$k=\dim W$）を用いたメビウス反転により
$$a(0)=\sum _W\mu (0,W)b(W)=\sum _{k=0}^3(-1{)}^k{q}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)}_q{b}_k$$
となる。ここで $b_k$ は $\dim W=k$ のときの $b(W)$（$W$ によらない）、${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)}_q$ は $k$ 次元部分空間の個数（$q$ 二項係数）である。

$b_k$ の計算. $W$ の基底を延長した基底で考えると、$W$ の各点を固定する正則行列は
$$\left(\begin{array}{cc}{I}_k& \ast \\ 0& A\end{array}\right),\ast \in M_{k\times (3-k)}({\mathbb{F}}_q),A\in G{L}_{3-k}({\mathbb{F}}_q)$$
の形であり、$b_k=q^{k(3-k)}|G{L}_{3-k}({\mathbb{F}}_q)|$。

$|G{L}_1|=q-1$, $|G{L}_2|=(q^2-1)(q^2-q)$, $|G{L}_3|=(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)=q^3(q^3-1)(q^2-1)(q-1)$。また ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}_q={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}_q=q^2+q+1$。

各項.
- $k=0$: $|G{L}_3|=q^3(q^3-1)(q^2-1)(q-1)$
- $k=1$: $-(q^2+q+1)\cdot q^2\cdot (q^2-1)(q^2-q)=-q^3(q^2+q+1)(q-1)(q^2-1)=-q^3(q^3-1)(q^2-1)$
- $k=2$: $+q\cdot (q^2+q+1)\cdot q^2\cdot (q-1)=q^3(q^3-1)$
- $k=3$: $-q^3\cdot 1\cdot 1=-q^3$

合計.
$$a(0)=q^3[(q^3-1)(q^2-1)(q-1)-(q^3-1)(q^2-1)+(q^3-1)-1]=q^3[(q^3-1)(q^2-1)(q-2)+q^3-2].$$
$(q^3-1)(q^2-1)=q^5-q^3-q^2+1$ に $(q-2)$ を掛けると $q^6-2q^5-q^4+q^3+2q^2+q-2$ なので
$$a(0)=q^3\left(q^6-2q^5-q^4+2q^3+2q^2+q-4\right).$$

検算 ($q=2$). $q^3(64-64-16+16+8+2-4)=8\cdot 6=48$。$G{L}_3({\mathbb{F}}_2)$（位数 $168$）で $1$ を固有値にもたない元は、固有多項式が $x^3+x+1$ または $x^3+x^2+1$（定数項 $1$ で $x=1$ を根にもたない 3 次式はこの 2 つ）の元、すなわち位数 $7$ の元で、その個数は $48$ であり一致する。

$V={\mathbb{F}}_q^3$、$G=G{L}_3({\mathbb{F}}_q)$ とし、$N_k$ を「$g$ の固定空間 $\ker (g-1)$ の次元がちょうど $k$」である $g\in G$ の個数とする。求めるのは $N_0$。

$|G|=(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)=q^9-q^8-q^7+q^5+q^4-q^3$。

(1) $N_3=1$（単位行列のみ）。

(2) $N_2$: 固定空間が 2 次元 $W$ の $g$ を数える。$W$ の選び方は $q^2+q+1$ 通り。$W$ を核とする 1 次形式 $\phi$ を 1 つ固定する。$g=1+h$ とおくと、$h$ は $W$ 上で 0 なので $h=x\phi$（$x\in V$）と一意に書ける。固定空間がちょうど $W$ であるためには $x\ne 0$、$g$ が正則であるためには $\det (1+x\phi )=1+\phi (x)\ne 0$ が必要十分。$\phi (x)=-1$ となる $x$ は $q^2$ 個なので、$x$ の選び方は $q^3-1-q^2$ 通り。よって
$$N_2=(q^2+q+1)(q^3-q^2-1)=q^5-2q^2-q-1.$$

(3) 固定ベクトルの対の数え上げ: 零でない $v$ を固定する $g$ の個数は $v$ ごとに $|G|/(q^3-1)$ なので、対 $(g,v)$（$v\ne 0$, $gv=v$）の総数は $|G|$。一方これは ${\sum }_k(q^k-1)N_k$ に等しいので
$$(q-1)N_1+(q^2-1)N_2+(q^3-1)N_3=|G|.$$
これを解くと $N_1=\frac{|G|-(q^2-1)N_2-(q^3-1)}{q-1}$。分子は $q^9-q^8-2q^7+2q^5+3q^4-q^3-q^2-q$ となり、$q-1$ で割って $N_1=q^8-2q^6-2q^5+3q^3+2q^2+q$。

(4) $N_0=|G|-N_1-N_2-N_3$ なので
$$N_0=(q^9-q^8-q^7+q^5+q^4-q^3)-(q^8-2q^6-2q^5+3q^3+2q^2+q)-(q^5-2q^2-q-1)-1$$
$$=q^9-2q^8-q^7+2q^6+2q^5+q^4-4q^3.$$

検算: $q=2$ のとき $512-512-128+128+64+16-32=48$。$G{L}_3({\mathbb{F}}_2)$（位数 168）で固有値 1 をもたない元は特性多項式が $x^3+x+1$ または $x^3+x^2+1$ の位数 7 の元で、シロー 7-部分群が 8 個、各 6 元で $48$ 個。一致する。また $q=2$ で $N_1=98$, $N_2=21$, $N_3=1$, $N_0=48$ の和は $168=|G|$。